Техника - молодёжи 1956-12, страница 40

Шахматный автомат Тореза Леей-до демонстрируется на первом съезде кибернетиков. Сын изобретателя играет с автоматом, справа — Норберт Винер.

Великий математик Лейбниц в 1703 году, первым исследовавший особенности двоичной системы, с особой похвалой отзывался о таблицах сложения и умножения в- ней, которые состоят из трех строчек каждая:

0+0-0 О-0-0 0+1-1 0-1-0 1 + 1-0 1-1-1 и «один в уме», то-есть единица переходит в высший разряд

«При сведении чисел к Простейшим началам, каковы 0 и 1. всюду выявляется чудесный ПоряДок...» — восхищенно писал Лейбниц.

Стоит немного поупражняться в счете По двоичной системе, "чтобы убедиться в его Простоте. При делении отпадают догадки и пробы, умножение сводится к сложению. Затруднения доставляет только перевод исходных чисел н результатов в десятичную систему.

Конечно, если бы двоичная система была единственно употребляемой, потребность в переводе отпала бы.

Заметим, что названия «нуль» и «один» чисто условны, как и цифры 0 и 1. Можно переставить их, можно заменить любыми знаками, например точкой и тире.

----. — . . —. . год

ТЕХНОЛОГИИ РАЗУМА

Второй путь — философов. Субъект, именуемый котом. Девятнадцать из 256 возможных. Кто такая Барбара? Логика под f^gsa огнем критики. Таинственные знаки мысли. г С. Можно ли высчитать истину?

(^ГГЧ ^{Сли кот} сидит на Диване, а диван — в комнате, то и

- Кот в комнате, не так ли? А как это доказать?

В житейской практике, когда кота легче прогнать с дивана, нежели теоретически обосновать его пребывание, такой вопрос не поднимается. С детства пользуясь своим сознанием, мы доверяем ему. Но еще в древней Греции философы попытались найти систему, которая позволила бы подтвердить правильность подобных выводов — найти «технологию» разума. Появилась наука логика.

Логика учит, что все мысли человека могут иметь форму понятий, суждений и умозаключений. Все они в конечном счете развиваются на основе сообщений органов чувств — главным образом зрения и слуха. «Кот» есть понятие, и — если мы говорим не о племени котов понятие единичное. «Кот сидит на диване» — уже суждение, притом суждение свойства, в котором различают субъект суждения — самого кота и предикат суждения, а именно, обстоятельство, что он «сидит на диване».

Если из двух суждений выводится третье, получается опо-средственное умозаключение, или силлогизм. В силлогнвме различают большую и малую посылки и заключение:

Диван находится в комнате — большая посылка _Кот сидит иа диване — малая посылка_

Следовательно, кот находится в комнате — заключение

Подсчитано, что, переставляя понятия, можно получить 256 вариантов силлогизма. Однако не все из них будут истинными. С силлогизмом

Все крокодилы имеют глаза и хвост — большая посылка _Кот имеет глаза и хвост — малая посылка

Следовательно, кот есть крокодил — заключение

утвердительные и единичноутвердительные суждения.) Силлогизм о коте-крокодиле построен по второй фигуре, но законы силлогизма не позволяют что-либо утверждать по втой фигуре, заключение может быть только отрицательным:

Все крокодилы живут в воде Кот не живет в воде_

Следовательно, кот не крокодил

В состав классической логики входят также общие законы правильного мышления. По закону тождества «всякий предмет остается самим собой», по закону противоречия «предмет не может быть собой и не собой», по закону исключенного третьего «он либо бывает чем-то, либо не бывает».

За две тысячи лет существования классическая логика почти не изменилась. Между тем накопилось множество сомнений и возражений против ее категорических утверждений.

Во-первых, все вещи в мире развиваются и изменяются, перестают быть самими собой, и тем отрицается закон тождества, а с ним и закон противоречия. Появилась диалектическая логика, которая не отрицает противоречий, а, наоборот, учит, что они присущи всему в мире, являются источником развития и движения.

Во-вторых, заметили, что логика совершенно не дает понятия, откуда появляются первые, исходные посылки, в которых, по существу, уже заложено содержание заключений.

В-третьих, заметили неточность словесного выражения правил и аксиом логики, а также невозможность обосновать их рассуждением, так как именно законность рассуждений изучается втой наукой.

В начале XIX века появилась «математическая логика», в которой формы мысли обозначают буквами, а соотношения между ними — особыми знаками, аналогично тому, как это делается в математике. Три общих закона, например, стали писать так: А А (читается: «еслн А, то А»)

А А А (А — знак .и", черта вверху — знак отрицания, читается: «невозможно, что А и не А»)

А V А (читается «А или не А», третьего быть не может),

а закон силлогизма принял следующий вид:

(|х-»у I Л I У Z I) I х z I,

причем эта формула по строгим правилам подстановки и преобразования выводится из немногих элементарных аксиом, чем совершенно исключаются рассуждения при доказательстве ее.

Математическая логика частично сияла третье из возражений критики. Она добилась высокой точности и обоснованности, особенно в первой своей части — исчислении высказываний, которая берет сложное высказывание, состоящее из простых высказываний, связанных знаками логических отношений, и выясняет, истинно оно или ложно, если известна истинность простых, например:

По типу А V В- Кот спит на диване или кот живет в воде — истинно.

Кот — домашнее животное или кот спит иа диване — ложь, так как при выборе «или» одно из двух высказываний должно быть ложно, иначе вся связь ложиа. По типу А Л В. Кот — домашнее животное и кот спит на диване — истинно.

Кот есть крокодил и кот живет в воде — ложно, так как «и» соединяет только два истинных высказывания, иначе вся связь ложиа.

По типу А В. Если кот — крокодил, то кот живет в воде — истинно.

Если кот — крокодил, то кот спит на диване — ложно, так как из правды должна следовать правда, из лжи — ложь, иначе вся связь ложна.

Эти соотношения и оценки были составлены в результате наблюдений над речью.

Однако еще Лейбниц заметил, что значения сложных высказываний есть не что иное, как результаты арифметических действий над двоичными числами — нулем и единицей: выбор «или» — сложение, соединение «и» — умножение, а следствие «если... то...» — действие по формуле 1+А+АВ.

Действительно, обозначим нулем ложное высказывание, а единицей — истинное. Тогда:

при выборе «или» (А V В)

0 + 0 — 0 Ложь или ложь — ложно,

0 + 1—1 Ложь или истина — истинно,

1 + 1-0 Истина или истина — ложно.

при связи «и» (А Д В)

0*0—0 Ложь и ложь — ложно,

0 > 1 — 0 Ложь и истина — ложно, 1-1 — 1 Истина и истина — истинно.

при следствии «если... то...» (А В)

1 + 1 + 1*1 — 1 Из правды следует правда — истинно, 1 + 0 + 0 • 0 — I Из лжи следует ложь — истинно,

1 + 1 + 1*0 — 0 Из правды следует ложь (и наоборот) — ложно. Отрицание получается при сложении с единицей: 1 +1 о Отрицание правды дает ложь, 0 + 1 — 1 Отрицание лжи дает правду.

Профессор Московского университета И. И. Жегалкин в 1928 году выяснил, что не только исчисление высказываний, но и исчисление предикатов, то-есть разбор отношений внутри высказывания, также поддается арифметизации.

Во всяком случай, принципиально основные логические действия выполняются по правилам двоичной арифметики. Но почему?

трудно согласиться. Но как его опровергнуть?

Великий мыслитель древности Аристотель установил, что в трех видах, или «фигурах», силлогизма (позже Теофраст дополнил перечень четвертой фигурой) существует только несколько правильных вариантов — «модусов». Сейчас их насчитывают девятнадцать, и они получили условные названия в зависимости от того, какие суждения входят в них в качестве посылок. В первом силлогизме имеется три единичноутвердительных суждения; он построен по «первой фигуре» и называется «Барбара». (Слово вто смысла не имеет и принято только потому, что в нем три буквы «а», а буквой «а» обозначаются обще