Техника - молодёжи 1991-08, страница 42

Хотите верьте, хотите проверьте

Владимир ЛАТЫШЕВ

Саймон Флэгг и дьявол

В одноименном рассказе американского фантаста Артура Порд-жеса (сб. «Туннель под миром». М., 1965) ученый-математик Саймон Флэгг и дьявол заключают традиционный договор о продаже души с условием, что последний за 24 часа ответит на один-единственный вопрос. А вопрос гласит: «Верна ли великая теорема Ферма?»

Более 350 лет математики всего мира безуспешно ищут ответ на этот вопрос. Не находит его и дьявол. Изучив за 10 часов все без исключения разделы современной математики и потратив остальное время на собственные изыскания, он за 10 минут до истечения срока появляется с пачкой исписанных листков, швыряет их на пол и топчет ногами. И,, признав свое поражение, исчезает'.. Однако спустя несколько минут появляется вновь и вместе с человеком начинает искать ответ на поставленный вопрос. Миссис Флэгг удаляется варить кофе. Что же было дальше?

— Так какие же мысли у вас возникли?

Саймон пододвинул к себе стопку измятых бумажек. Дьявол из

40

влек из нее три листка и разложил в порядке очередности.

— Понимаете, я думаю, что некоторые разделы математики нам не понадобятся и я зря потратил время на их изучение. Ферма был великий математик, но сама эта наука 350 лет назад была попроще, без всех этих новомодных штучек. Поэтому решение нужно искать в тех областях, которые были известны Ферма.

— Дорогой... простите, как мне вас называть? Как-то неудобно...

— Зовите меня Мефи. Так меня звали в школе.

— Так вот, дорогой Мефи. Как вы уже, наверное, знаете, над теоремой ломали головы Эйлер, Дирихле, Лежандр, Ламе...

— И все они искали в записях Ферма методы, которые он использовал. Их-то потом и применяли. Особенно постарался Кум-мер. Надо отдать ему должное — он немало сделал. Но вместе с тем, на мой взгляд, пустил всех последующих математиков по ложному следу. Но почему бы не предположить, что Ферма выбрал совершенно оригинальный путь? Не зря же он написал на полях «Арифметики» Диофанта, что нашел «поис

тине чудесное доказательство»... Значит, оно было необычным для него самого.

— Ну и что вы предлагаете?

— Нам нужно доказать, что х t и +j> Т и< > z Т и при х, у, z, п — целых положительных числах и п>2.

Предположим, что теорема неверна, то есть х Т и + j Т n=z t и (l)

Представим (1) в виде: АМ+В Т2=СТ2, (2)

где

А—х Т (и/2), £=> Т (и/2), C=z Т (и/2) (3)

Из (2) получим

С Т 2—В Т 2=А 12 (4)

И далее, разложив левую часть на множители: (С-В)*(С+В)=А Г 2 (5)

Равенство (2) есть формула Пифагора для прямоугольного треугольника со сторонами А, В, С.

Теперь расширим условия теоремы. Предположим, что x,y,z — любые положительные числа (не обязательно целые), но условие z-y >= 1 (6)

сохраняется. Поскольку в теореме Ферма z к у*целые числа, то оно для них справедливо.

Теперь исследуем частный случай формулы (3) при С—В=1 (как, например, в прямоугольном треугольнике со сторонами, равными 3,4,5). В этом случае стороны треугольника связаны соотношением А —(С+В) Т (1/2) = _х

(2*£ + 1) t (1/2) (7) Построим соответствующую кривую... Вам понятно, Саймон, что у нас получилось?

— Ну разумеется! — вскричал Флэгг. — Для всех прямоугольных треугольников с вершиной на этой прямой С—В=1. Но из условия (6) при и>2 следует:

С-£=гТ(и/2)-уТ(и/2) = (>' +1) Т (и/2)—j Т (и/2)>1 (8) Мы пришли к противоречию. Следовательно, наше предположение, что теорема Ферм^ для данного частного случая несправедлива, неверно...

Дверь отворилась. В комнату вошла миссис Флэгг с подносом в руках. Разлив в чашки кофе и с интересом глянув на возбужденного дьявола, удалилась.

Отхлебнув кофе, Саймон спросил:

— Но как перейти к общему доказательству?