Техника - молодёжи 1992-12, страница 33
Хотите верьте, хотите проверьте Вадим ОРЛОВ, научный обозреватель Математика зрения, или Домик, в котором живет цвет Вообразите, что вы смотрите, скажем, на самолет в самодельную зрительную трубу с явными дефектами изображения — сферическими аберрациями. Если среди них преобладают искажения, связанные с размыванием точек в несимметричные пятна, то вместо самолета вы можете увидеть бесформенное пятнышко, несколько напоминающее комету с хвостом. Это и есть кома, в буквальном переводе с греческого — «прядь волос» (отсюда пошло и слово «комета», то есть волосатая звезда). Кома — один из видов каустик. Так называют линейно или пространственно размытые яркие области, возникающие из-за аберрации в несовершенных оптических инструментах вместо единственной светящейся точки. Так вот — как убеждают специалисты, весьма несовершенной оптической системой является и наш глаз, которому присущи и недостаточность поля зрения, и всевозможные аберрации. Причем природа, якобы допустив столько прегрешений, тут же снабдила глаз не меньшим количеством хитроумнейших компенсаторов, исправляющих ее же собственные ошибки. Именно об этой борьбе достоинств с недостатками повествуют учебники. Но почему не допустить, что какой-то из механизмов сферической аберрации, к примеру, ту же кому, природа не эксплуатирует, опираясь на ее свойства и особенности? Ответа не было, и его пришлось искать самому. Что такое ГО? На ЭВМ методами геометрического моделирования ныне решают немало задач негеометрической природы. К их числу относится и проблема формирования цветоощущения или сенсорного цветового образа. Как же он связан с категориями пространства и времени? Что может дать для его понимания геометрическая интерпретация? Интерес к задачам подобного типа подогрела так называемая теория катастроф, предложенная французским математиком Рене Тома (см. № 12 за 1978 г.). Создатель теории попытался выявить общие черты явлений, в основном биологических, иногда прерывающих свой плавный ход скачками и бурными всплесками. Таковы деление клетки, возбуждение нервного волокна, вспышки эпидемий и т.п. Каза лось бы, геометрия тут ни при чем. Однако автор статьи в «ТМ» Г.Смирнов нашел неплохой способ выявить имеющуюся связь. Он построил особую складчатую поверхность, которая описывает поведение собаки, одновременно обуреваемой противоположными эмоциями — страхом и яростью. Моменты ее непредсказуемых («катастрофических») действий можно определить, спроектировав поверхность на плоскость с координатами «страх» — «ярость», а затем найдя на ней точки, где задающая ее функция становится неоднозначной. В рамках геометрического моделирования выявлен целый класс задач, решаемых подобным образом. Их назвали задачами проекционной природы. Для решения каждой из них надо придумать какое-то адекватное изучаемому явлению абстрактное трехмерное тело. А уже с ним, при помощи правил начертательной или проективной геометрии, последующие операции пойдут «как по маслу». Но сама процедура «придумывания» пока далека от формализации, типовых приемов тут нет. Иногда 99% усилий исследователя уходит на то, чтобы сформировать необходимого пространственного кентавра. Математики даже имени ему не подобрали и называют его безликим термином «геометрический объект». А поскольку данное словосочетание приходится часто повторять, пустили в ход неуклюжую аббревиатуру ГО. Геометрия в мире сенсорики Приняв на вооружение упомянутый метод, попробуем вписать в геометрический Домик и сенсорный цветовой образ. Строительного материала для него в виде экспериментальных данных ныне накоплено вполне достаточно. Ведь прохождение сигналов, возбуждаемых световыми лучами на сетчатке глаза, прослежено вплоть до финиша — зрительной коры головного мозга. Соорудив Домик, мы должны заселить его Жильцами — отвечающими задаче параметрами. Если это сооружение достаточно адекватно отразит свойства интересующего нас негеометрического объекта, то хотя бы какие-то из опытных результатов должны получиться расчетным путем. Чем искуснее выполнена постройка, тем больше будет совпадений. Возможно, откроется и такое, чего экспериментаторы не нащупали или вовсе не искали Итак, приступаем к строительству. Откройте центральный разворот журнала. В левом нижнем углу нарисован круговой спектр, о котором писал еще Ньютон. Он сконструирован по принципу симметрии — на противоположных концах диаметров находятся дополнительные цвета, дающие при смешении ощущение белого. При полном обороте на 360° мы найдем здесь не только цвета физического спектра, но и такие, каких в нем нет. Использовав круговой спектр, мы заложили в фундамент Домика угловую величину, характеризующую цветовой тон. Стены и крышу дадут два других параметра, которые в колориметрии называются ахроматической и хроматической напряженностью. Их мы также представим геометрически. Соответствующее построение нетрудно проделать мысленно или выполнить на листе бумаги. Вообразите поставленный на круговой спектр цилиндр. Его вертикальные образующие воссоздадут стены. На нем — еще один, усеченный, у которого одна половина срезана наклонной плоскостью (крышей) Эллиптической крыше присвоим особое название. Заимствовать термин удобно у родоначальника начертательной геометрии Г.Монжа, ибо часть применявшихся им понятий за два столетия вышла из употребления и они пригодны для описания новых ситуаций. Так вот, крьнду Домика будем именовать плоскостью дефилады (у Монжа она имеет отношение к расчетам военных укреплений). Длину окружности кругового спек-
>_ABC_D --о Басхащчне удаленный Н 1И БЕСКОНЕЧНО Для четырех точек А,В,С, Дна одной пряной в геометрии определяется сложное отношение S их расстояний а, Ь, с, d от точки О (формула выписана на развороте). Когда Д «улетает» в бесконечность, разности с-Ь, d-c выравниваются. Нечто подобное случается и при смешении дополнительных цветов, например, красного и зеленого, когда они исчезают и возникает «среднее» — ощущение белого. Такого рода «делитель» работает и при смешении белого с черным в равных пропорциях (получение средне-серого). 31 |
