Юный техник 1973-10, страница 49




Юный техник 1973-10, страница 49

Ребята, в предыдущем номере мы предложили вам задачи вступительных экзаменов МФТИ по математике и физике. Сегодня вы можете проверить их решения.

МАТЕМАТИКА

\

РЕШЕНИЕ

1. Пусть bi — первый член прогрессии, q— ее знаменатель, п — количество ее членов, Sk — сумма первых к членов, тогда по условию имеем:

S„ - S,

п—14

9 и

— = 3.

14

п—7

Подставляя сюда выражения для сумм по формуле SK = b.

1 — qK

T=v

после упрощении получим:

qn—14=9 и q?^

откуда следует: qn =qS8, то есть п=28. Ответ: п=28.

2. В правой части уравнения вынесем общнй множитель sin3x за скобки, а разность синусов преобразуем в произведение, получим:

2 cos 2х = —2 sin Зх • cos 2х ■ sinx, отсюда следует:

cos2x (1 + sinx ■ sin Зх) = 0. Произведение синусов, стоящее в скобках, преобразуем в разность косинусов и, используя формулу cos 4х=2 cos22x— 1, приведем уравнение к виду:

cos 2х (2 cos2 2х — cos 2х —. 3) = 0,

1С 1С

откуда находим: cos 2х = 0, х = + п,

cos 2х :

— 1, х= —

1С 1С 1С

Ответ: х = —+ —п; х = —+icn.

3. Обозначим х = СЕ, у = BE. R — радиус окружности, тогда

DE 2R

АВ = х + у. Так как —= к и ДЕ + АЕ = 2R, то АЕ = .

АП» — I "р К

Через вершину В проведем диаметр окружности BF. Так как

АВ = ВС, то BF — биссектриса ZABC. По свойству биссектрисы из треугольника ABE получаем:

АО АВ х 2к

— = —, откуда следует— = —.

СЕ х 2к

Тогда: ВС = 7+7=Т+к'

СЕ 2к

Ответ:

ВС 1 + к

S4



Обсуждение
Понравилось?
Войдите чтобы оставить комментарий
Понравилось?