Юный техник 1973-10, страница 49
Ребята, в предыдущем номере мы предложили вам задачи вступительных экзаменов МФТИ по математике и физике. Сегодня вы можете проверить их решения. МАТЕМАТИКА \ РЕШЕНИЕ 1. Пусть bi — первый член прогрессии, q— ее знаменатель, п — количество ее членов, Sk — сумма первых к членов, тогда по условию имеем: S„ - S, п—14 9 и — = 3. 14 п—7 Подставляя сюда выражения для сумм по формуле SK = b. 1 — qK T=v после упрощении получим: qn—14=9 и q?^ откуда следует: qn =qS8, то есть п=28. Ответ: п=28. 2. В правой части уравнения вынесем общнй множитель sin3x за скобки, а разность синусов преобразуем в произведение, получим: 2 cos 2х = —2 sin Зх • cos 2х ■ sinx, отсюда следует: cos2x (1 + sinx ■ sin Зх) = 0. Произведение синусов, стоящее в скобках, преобразуем в разность косинусов и, используя формулу cos 4х=2 cos22x— 1, приведем уравнение к виду: cos 2х (2 cos2 2х — cos 2х —. 3) = 0, 1С 1С откуда находим: cos 2х = 0, х = + п, cos 2х : — 1, х= — 1С 1С 1С Ответ: х = —+ —п; х = —+icn. 3. Обозначим х = СЕ, у = BE. R — радиус окружности, тогда DE 2R АВ = х + у. Так как —= к и ДЕ + АЕ = 2R, то АЕ = . АП» — I "р К Через вершину В проведем диаметр окружности BF. Так как АВ = ВС, то BF — биссектриса ZABC. По свойству биссектрисы из треугольника ABE получаем: АО АВ х 2к — = —, откуда следует— = —. СЕ х 2к Тогда: ВС = 7+7=Т+к' СЕ 2к Ответ: ВС 1 + к S4 |
