Юный техник 1973-10, страница 50

4. Обозначим S расстояние от А до В, U| и llj — скорости автобуса и автомобиля. Из условия первой встречи имеем:

42 (U₂ + U,) = S. (1)

В тот момент, когда автомобиль в первый раз обогнал автобус, пройденный им путь был на S длиннее пути, пройденного автобусом, поэтому:

154 (U₂ - U.) = S. (2)

Из (1), (2) находим, что автобус и автомобиль на прохождение пути от А до В затрачивают соответственно время:

231

t₁ = -^-MHH. t₂ = 6bMHH.

В пункт А автобус прибывает, сделав четное число рейсов, автомобиль прибывает в пункт А, сделав нечетное число рейсов. В пункте А они окажутся одновременно тогда и только тогда, когда 2m-t,= (2п+ l)-t,.

Наименьшие возможные натуральные тип дают условие их одновременного прибытия в пункт А в первый раз. Легко находим m = 2 и п = 3. Искомое время х = 2mti = 462 мин. = 7 час. 42 мии.

Ответ: 7 час. 42 мин.

о. Пусть О — центр куба и пусть ребро куба равно 1. Обозначим х = MF, ON = у. Из точки N опустим «перпендикуляр NP на плоскость АВСД, соединим точки N и F. Так как PF-LAC, то по теореме о трех перпендикулярах NF _L АС. В прямоугольном треугольнике MNF имеем Z NMF = 60°, следовательно, MN = 2х. Из точки F опустим перпендикуляр FQ на диагональ Д|В. Так как MF перпендикулярно плоскости ДД1В, то по теореме о трех перпендикулярах MQ -L ВД1. В прямоугольном треугольнике MNQ имеем Z. MNQ = 45°,

следовательно, MQ Тогда: QB

= NQ = х y l.

1

FB cos ^ Dj BD = ——

V 3

и MQ = NQ = NO + OQ, то есть

хУТ=7-

Так как FQ = QB-sln ^ DjBD =

гт 6

V6"

то из прямоугольного треугольника MFQ находим: MF² = MQ² — FQ²,

1 1 1

откуда х² =-—■ то есть Xj = —- ; х₂ =— ——: •

Y2 /6 у 6

У1 = —— и у₂ = -

Этим значениям х соответствуют

6 " 6 в обоих случаях точка N делит диагональ BD| в отношении 2: 1, точ-

У~Т— 1

ка М делит диагональ АС в отношении "_ ~ •

_ /3 + 1

/3-1

Ответ: 2 : 1 и ——-.

/3+1

55