Юный техник 1984-12, страница 77

Математика

1. Какое из двух чисел больше: /1983 + /1985 или 2/1984?

2. Основания трапеции равны 30 см и 40 см, а углы при меньшем основании — 130° и 140°. Найдите длнну отрезка, соединяющего середины оснований трапеции.

3. Найдите все натуральные числа п и ш, удовлетворяющие уравнению:

п²—ш²= 117.

4. Зарплата рабочего составляла 200 руб. В результате двух последовательных процентных повышений она возросла до 233 руб. 28 коп. Определите, на сколько процентов повышалась зарплата.

5. Все натуральные числа, начиная с единицы, выписаны подряд. Какая цифра стоит на 1985-м месте?

6. При каких натуральных значениях п число п⁶ + 2п⁵—п²—2п делится на 120?

7. В окружность вписан треугольник ABC. В точке В проведена касательная к окружности. Расстояния от точек А н С до касательной равны 3,2 см и 0,8 см. Найдите длину высоты треугольника ABC, проведенную из вершины В.

8. Четвертый член арифметической прогрессии равен 4. При каком значении разности этой прогрессии сумма попарных произведений ее первых трех членов будет наименьшей?

9. Длины двух сторон треугольника равны 6 см и 8 см, а

две его медианы пересекаются под прямым углом. Найдите длину третьей стороны треугольника.

10. В реку впадает приток. Теплоход отходит от пристани на притоке и идет вниз по течению 80 км до реки, далее по реке против течения до пристани В, затратив 18 часов на весь путь от А до В. На обратный путь от В до А теплоход затратил менее 15 часов. Какой была скорость течения в притоке, если скорость теплохода в стоячей воде 18 км/ч, а скорость течения реки 3 км/ч?

11. Длина ребра куба АВСД AiBiCiflt равна а. На ребрах АД и B|C_S взяты соответственно точки М и Q, а на ребре СД — точки Р и N так, что

i AM | = | C,Q | = | CP | =

-iPNl-f .

Найдите тангенс угла между прямыми (MP) и (QN).

12. Решите уравнение:

* + х² (1 + х"^х² — 4х + 4) =

= х².

13. Определите, при каких значениях параметра а система уравнений

( аху + х + у = 2 { yz + у - 2z = 1 I xz — 2z + х = -;1

имеет единственное решение.

Задачи составили преподаватели МФТИ: по физике — Н. БЕРЮЛЕВА, по математике — А, КУТАСОВ

73