Юный техник 1987-12, страница 71

кой начальной температуре находился газ?

12. С какой максимальной скоростью может проехать мотоциклист по закруглению дороги радиусом 80 м, если коэффициент трения между шинами мотоцикла и асфальтом равен 0,5?

13. Некоторое количество идеального газа нагревается от 300 К до 400 К. При этом объем газа изменяется пропорционально температуре V = аТ. Начальный объем газа 3 л, давление, измеренное в конце процесса, оказалось равным 1 атм. Какую работу совершил газ в этом процессе?

14. Сосуд объемом 120 л разделен тонкой подвижной перегородкой на две части. В левую помещены два моля воды, в правую — моль азота. Температура поддерживается равной 100° С. Определить объем правой части сосуда.

Математика

1. В классе 40 учеников, из них первую задачу по физике из вступительного задания ЗФТШ решили 25 человек, по математике — 26, а 9 школьников ие решили ни одной из этих задач. Сколько учеников решили обе задачи?

2. Найдите 1988-ю цифру после запятой в десятичной записи числа ²/₇.

3. Длины всех сторон прямоугольного треугольника — целые числа. Могут ли длины обоих катетов быть нечетными числами?

4. На окружности по разные стороны от диаметра АВ расположены точки С и Д. Найдите СД, если известно, что ВС = а, АС = в, АД = БД.

5. Какие значения может принимать х, если

|х—у|< 2 в 1.2х + у1 <1.

6. Найдите сумму

I² — 2² + ... + 1987² — 1988²

7. Основания трапеции равны а и Ь. Найдите длину отрезка, проведенного через точку пересечения диагоналей параллельно основаниям и заключенного между боковыми сторонами. Докажите, что его длина не больше V ab.

8. При каком значении параметра а сумма квадратов корней уравнения

2х² + 2ах + За² — 2а = 0 будет наибольшей?

9. В четырехугольнике, вписанном в окружность радиуса R, одна сторона является диаметром, а длины трех других сторон равны а, Ь, с. Докажите, что

4R³ — R(a² + b^s-Ьс²) — abc = 0.

10. Зная что sin а + cos а = а, найдите I sin а — cos а |.

11. Рассмотрим многочлен Р(х) -= х² + рх + q.

а). Докажите, что оба корня Р(х) лежат иа отрезке [а; Ь] тогда и только тогда, когда выполнены условия:

р

р² — 4q > 0, a s^— — < в,

Р(а)^0, Р(в)$?0.

б). На координатной плоскости изобразите множество таких точек (р; q), что корни Р(х) лежат на отрезке [—I; 1].

12. Четыре туриста идут по различным прямоугольным маршрутам с постоянными и различными скоростями. Известно, что первый турист встретился в пути с каждым из трех остальных, второй — с третьим и четвертым. Докажите, что третий и четвертый туристы также встретятся.

Вступительное задание по физике подготовил доцент кафедры общей физики Е. П. КУЗНЕЦОВ

Вступительное задание по математике подготовил доцент кафедры высшей математики С. П. КОНОВАЛОВ

69