Костёр 1985-11, страница 36

Раздел ведет кандидат физико-математических наук доцент В. В. ЛАПТЕВ

Задача о кошке, Земле и апельсине («Костер», 1985, № 9), которой заканчивалась предыдущая наша встреча, показала, что выполнять на . микрокалькуляторе (МК) арифметические операции вы умеете. Обнаружились и первые интересные особенности МК. Однако, как, казалось бы, ни странно, Электроник поздравляет с наибольшим успехом тех, кто, решая задачу, вообще не стал брать в руки свой МК. Но обо всем по порядку.

Еще раз о кошке над апельсином

Как вы помните, по условию задачи апельсин диаметром 10 см мысленно туго обвязывался шнурком, остаток которого отрезался. Далее шнурок с апельсина снимался и между его концами ввязывался еще отрезок длиной ровно 1 м. Удлиненный шнур располагался вокруг апельсина так, чтобы зазор между шнуром и апельсином всюду был одинаковым. То же самое проделы-валось, но уже для Земли вместо апельсина, с добавлением к канату, опоясывающему Землю, по-прежнему ровно метрового отрезка. Спрашивалось, какими будут образовав

30

шиеся вокруг апельсина и вокруг Земли зазоры и сможет ли сквозь них пролезть кошка?

— Что за вопрос? — так и слышатся возгласы. — Достаточно взять МК, и «обхват» апельсина радиусом R_a вот он, на индикаторе:

С_а=2.-^_а=2л • 5=31,415...(си)

Длина же шнурка со вставкой C_a+L^131,4 см. Радиус образуемой им окружности

Ri = (C_a+L)/2jt= 1 31 ,4/2Л =

= 20,915 (си)

Следовательно, зазор для кошки (R,—R_a);^21—5=16 (си)

Думается, зазор в 16 см вполне достаточен, чтобы сквозь него пролезла кошка. Сомневающиеся могут проверить вывод экспериментально, а о результатах этого достаточно опасного эксперимента сообщить всем своим знакомым.

— Ничего нет проще повторения таких же выкладок для Земли,— продолжат оптимисты. — Большие числа? Пустяк, ведь считать будем не в уме, а на МК.

Итак, если экваториальный

радиус Земли R₃=6 378 160 м, то длина опоясывающего Землю каната

С₃=2Л1*з=2Л • 6 378 160=

= 40 075 160 м.

В соответствии с условием задачи к этой длине необходимо добавить еще 1 м, после чего для нахождения радиуса новой окружности результат следует разделить на 2л.

И вот здесь многие из вас с удивлением обнаружили, что новый радиус мог оказаться равным старому R3, а иногда и меньше его.

Дело в том, что результат вычислительных операций с последним разрядом максимально помещающегося на индикаторе вашего МК числа часто оказывается в пределах погрешности вычисления. Другими словами, ручаться за правильность полученных при расчетах на МК последних цифр столь больших чисел нельзя. Это полезно запомнить.

В таком случае, возвращаясь к задаче, выходит ли, что до

• г »

конца выяснить способности кошки так и не удастся? Оказывается, нет. Ведь для ответа на вопрос задачи МК и вообще не нужен.

Действительно, длина любой обвязки C = 2.tR. Длина обвязки со вставкой С + 1_ = 2л^-|-Х).

Отсюда зазор X = L/2л. То есть, как это ни удивительно, зазор вообще не зависит от радиуса апельсина или Земли. В полученную над Землей щель в те же, что и над апельсином, 16 см кошка, как мы уже выяснили, прекрасно пролезет.

Однако главной заслугой кошки следует считать все-таки не это, а полученное нами с ее помощью представление о МК, как об электронном устройстве, которое самостоятельно решать задачи не умеет. Решать их должны вы сами.

А вот помочь вам в наиболее трудоемких расчетах — его

прямая обязанность.

От больших чисел

к малым

Необходимость учета погрешности в вычислениях с большими числами теперь нам уже очевидна. Но оказывается, что и в операциях с малыми числами погрешность также существенна. Более того, наличие погрешности в вычислениях приводит к тому, что нарушается ряд хорошо известных нам из математики законов.

Если ваш МК не допускает степенного представления числа, проведите с его помощью предложенное ниже умножение и убедитесь, что результат зависит от перестановки сомножителей:

0,0015X0,01328X0,02Х 10,54Х 100,5=? 0,0015Х 0,01328Х 10,54Х 0,02Х 100,5= ? 0,00t5X 100,5Х 0,01328 X 10,54Х 0,02= ?

А теперь, экспериментируя с МК, постарайтесь убедиться, что результаты, подобные только что проведенному умножению на МК с естественным представлением чисел имеют наименьшую погрешность при соблюдении правила: при каждой операции умножаются самый большой на самый малый из оставшихся сомножителей, включая результат предыдущего умножения.