Техника - молодёжи 1940-05, страница 28

ЧТО ТАКОЕ f шштц/миш

Проф. Г. ПОКРОВСКИЙ

В предшествующей статье «Что такое диференциал», напечатанной в № 2—3 «Техника — молодежи» за 1940 г., мы познакомили читателя с диференциалом и показали, для чего он применяется на практике. Диференциал необходим,' например, для вычисления скорости неравномерно движущейся автомашины. В этом случае нужно определить весьма малый отрезок пути, проходимый автомашиной за соответствующий весьма малый промежуток времени. Вообще при диференцировании приходится иметь дело с очень малыми величинами. Это, однако, далеко не всегда позволяет доводить задачу до .конца и получать требующееся для .практических целей решение.

На практике часто бывает нужно перейти 'От очень малых величин к большим. Это можно сделать, тем или иным путем складывая друг с другом малые величины, полученные при 'диференцировании. Вообще разложение различных величин, напри мер пути, времени и т. п., на .малые элементы только тогда будет приводить к полному решению поставленных задач, если мы сумеем эти отдельные элементы вновь соединять друг с другом.

Чтобы пояснить это, рассмотрим несколько примеров. ⁴

Представим себе, что насос накачивает воду в бак. Насос работает все время равномерно; это значит, что каждую секунду в бак подается одинаковый объем воды. Если включить в трубопровод трехходовой кран, то можно легко измерить объем воды, подаваемый насосом в единицу времени. Для этого трехходовой кран переключается на одну секунду так, чтобы направить поток воды не в наполняемый бак, а в стоящий рядом открытый измерительный сосуд. Через секунду кран переключается вновь, и вода опять продолжает поступать в бак. В измерительный сосуд попало, таким образом, только такое количество воды, которое подавалось насосом в течение одной секунды. Таким же Способом можно найти объем воды, подаваемый насосом в одну минуту или 'в любую иную единицу времени.

Итак, определив количество попавшей в сосуд воды, можно узнать объем воды, подаваемый насосом в ту или иную единицу времени.

После описанного простого опыта нетрудно подсчитать, какой объем воды насос накачивает в бак и за любой промежуток времени. Пусть, например, необходимо определить

26

объем воды, подаваемый в течение 25 секунд. Очевидно, для этого нужно .объем, подаваемый в одну секунду, умножить на число секунд. Если в одну секунду подается объем в 10 литров, то за 25 секунд будет подано в бак 250 литров.

■Описанный простой расчет окажется, однако, совершенно неприемлемым, если насос работает неравномерно, если он, например, постепенно уменьшает свою подачу. Такое уменьшение подачи воды часто имеет место в действительности. Так, если вода подается центробежным насосом, то количество подаваемой за единицу времени ©оды будет тем меньше, чем больше давление воды в трубопроводе, куда подается вода. Если трубопровод соединен с баком, в котором уровень воды повышается, то в результате этого давление в трубопроводе будет с течением времени расти, поэтому подача воды в бак по мере заполнения его будет постепенно замедляться.

В таком случае нельзя говорить о постоянной величине .объема воды, подаваемого в единицу времени. Эта величина будет непрерывно уменьшаться. Поэтому .подачу воды следует характеризовать величиной весьма малого объема воды, подаваемого за весьма малый промежуток .времени. Другими словами, скорость подачи воды можно охарактеризовать (производной dv

dt

Понятие производной подробно объяснено в предшествующей статье, содержание которой мы рекомендуем вспомнить читателю, перед тем как продолжать дальнейшее чтение.

Написанную выше производную можно видоизменить следующим образом. Умножим правую и левую части написанного равенства на dt. Сократив левую часть равенства на dt, мы получим dv—Qdt.

Таким образом, производную объема воды по времени необходимо умножить на диференциал времени dt, чтобы получить бесконечно малый объем воды (диференциал объема воды dv), подаваемый за время, равн-ое диференциалу времени dt.

Если мы хотим подсчитать объем воды V, подаваемый за некоторое время t, то необходимо сложить все весьма малые объемы dv:

V=dv₁-f-dv₂-}-dv,_rf-.....

Цифровые индексы [1,2, 3 и т. д. поставлены около dv для того, чтобы отметить, что величины dv

Рисунки А. КАГКОВСКОГО

различны и вообще не равны друг; другу.

Если заменить dv_lf dv₂ и дальнейшие слагаемые произведениями-Q на dt, то получится:

V=Q,dt -f Qjdt + Q_:1dt + . . . , I

Здесь значения Q,, Q,, Q₃ и г. д. означают производные объема воды; по времени в последующие весьма малые промежутки времени.

Так как отрезки времени dt весьма малы, то нужно будет ело-; жить весьма большое число таких величин, для того 'чтобы получить необходимое для практического подсчета время t.

В соответствии с этим придется сложить очень .много произведений Qdt, для того чтобы получим объем воды V, подаваемый за f■ время t.

Такое сложение произвести обычными способами невозможно; Необходимо найти особые приемы! для того чтобы удобно складывай чрезвычайно большое число очень малых величин.

Прежде всего самое суммирова ние может быть обозначено сокра щенно. Можно написать: V = сумме' произведений вида Q • dt, или, заменив слова «сумма произведений вида» удлиненной латинской л /, получаем /Qdt.

Эта удлиненная буква / «азы вается знаком интеграла. Самая величина /Qdt называется ннтегра. лом Q по dt, а суммирование подобного характера называется интегрк рованием.

В описанном выше примере врем? изменяется от 0 при начале накачи вания воды до некоторого значим t в момент окончания работы насоса. При сложении необходимо учесть' это время. Обычно это делают еле-

Насос накачивает воду в большой бах. На трубопроводе имеется трехходовой кран. Поворотом рукоятки крана можЩ поток воды направить в измерительны4 бак и определить, сколько воды под> ся насосом в единицу времени.