Техника - молодёжи 1940-05, страница 29
дующим образом. Значение времени-Ври начале суммирования, равное в анном случае нулю, отмечают внизу I возле знака интеграла. Это — нижний предел интегрирования. Значение [времени при конце суммирования, рйвн-ое t, отмечают вверху возле (знака интеграла. Это — верхний аре |ел интегрирования. В результате мы получаем следующее: V - ft Qdt. j Это определенный интеграл. Он называется /гак потому, что указаны определенные границы времени, в [пределах которых производится интегрирование (сложение) членов тина iQdt. | Все описанные здесь рассуждения имеют общий, теоретический характер, и при чтении статьи читатель может испытать некоторую неудовлетворенность. отрез! rit иёзи; I изменен телыю, то можно пренебречь. Очевидно, величина Qdt есть площадь соответствующего .прямоугольника. Таким образом*, сумма произведений вида Qdt, или -интеграл Q по dt, в пределах от 0 до I, есть не |что иное, как сумма «лошадей прямоугольников, построенных на отрезках dt. Нетрудно . видеть, что при очень малых отрезках dt сумма-площадей всех прямоугольников весьма- близка к площади, ограниченной на графике кривой ABC. Определение 'интеграла сводится к подсчету этой площади. Этот подсчет, однако, сопряжен с некоторыми трудностями, так как площадь ограничена кривой ABC. Для об легчения подсчета можно 'рекомендовать следующий ччрием. Из плот- 15 мингут Действительно, в статье ничего . сказано конкретно о том, -как же практически определять интеграл в той или ином случае. Дать «счерпывающий ответ на такой вопрос в одной небольшой статье 'невозможно. Вопросы интегрирования составляют содержание большого раздела мате шики ..... интегрального исчисления. Тем. не менее можно привести простой пример, который наглядно показывает, как надо интегрировать, во многих практических случаях, ■Представим себе, что мы определяем производную объема воды v ао времени t, равную, как было dv „ указано ранее, Эту величину мы находим, наблюдая за объемом воды v в баке в различные моменты времени. При помощи этих наблюдений. и вычислений . мы можем построить график ависи мости Q от t. Здесь но горизонтальной оси от-ожено время t, а «о вертикальной /л I — величина Q=-,---^ dt Разобьем отрезок времени t на ачтожио малые отрезки dt. По-гроим на каждом таком отрезке шмоугольник с высотой, рав.ной ачению Q в соответствующей части рафика. Так. как Q меняется в п-ре- Скорость подачи поды Q я бак меняется в зависимости or времени I. По мере наполнения баки водой скорость подачи уменьшается п соответствии с кривой ABC. В пределах ничтожно малого отрезки времени dt скорость подачи Q меняется незначительно, поэтому, не делая большой ошибки, можно считать, что объем воды, поданный « бак за время 'II, равен площади соответствующего прямоугольника, несь же объем воды, накачанный насосом за время I, ранен площади, ограниченной осями координат и кривой ABC. ной однородной бумаги 'вырезывают фигуру, изображенную на графике, и взвешивают ее на весах. Затем из той же (бумаги вырезывают квадратик с 'площадью, равной единице, и также 'взвешивают. После .этого делят вес -фигуры на вес 'квадратика и находят, сколько соответствующих квадратных единиц содержится 'в измеряемой площади. Это и есть значение определяемого нами интеграла. Совершенно ясно, что описанные здесь приемы могут быть применены и при решении самых разнообразных других задач. Рассмотрим, например, ускоренное движение автомашины. Машина трогается с места и движется некоторое время так, что скорость ее движения равномерно возрастает от О до 20 метров в секунду. Это происходит в течение 30 секунд. Зависимость скорости от времени, как и в предыдущем случае, может быть изображена графически. По вертикальной оси откладывается скорость, а по горизонтальной — время t. ; Необходимо определить путь, который прошла автомашина за это время. Если бы движение было равномерным, то путь s, пройденный автомашиной, равнялся бы скорости tpsnMB/ Автомобиль движется - равноускоренно. Зависимость скорости его движения V от времени выражается изображенной на /рафике наклонноИ прямой линией. Эта линия чокозывает, что скорость машины увеличивается вместе с временем ее движения t. Пройденный за время t путь равен площади заштрихованного треугольника. движения v, умноженной на соответствующее время t, т. е. s=-vt. Если же движение автомашины неравномерное и скорость v непрерывно изменяется, то расчет становится существенно сложнее. Из предыдущей статьи, посвященной лифе реициалу, мы уже знаем, что при неравномерном движении -скорость v есть отношение 'очень малого отрезка .пути ds к очень малому отрезку времени dt, в течение которого машина проходит этот отрезок: ds ~ dt ' ds: Отсюда можно -определить ds = v - dt. Бели бы мы захотели определить путь, проходимый в течение времени t, то нам нужно было бы просуммировать все участки ds,, ds2 и т. д., пройденные, за время t: s —dsj4-dsa--fds,,4-..... Каждый малый отрезок пути ds можно заменить произведением v • dt. Поэтому: s = v,dt --j- Vjdt + v;idt -f-..... Такая сумма есть, однако, не что иное, как интеграл, и мы можем написать: s=J"Jvdt, Можно, следовательно, утверждать, что шуть, 'проходимый автомашиной за время, равное t, есть определенный интеграл скорости по времени 'в пределах от 0 до t. Мы уже знаем, что определенный интеграл равен соответствующей площади. Эта площадь отмечена на графике вертикальной штриховкой. Так как в данном случае скорость движения возрастает равномерно, то график получается прямолинейный. Поэтому заштрихованный участок представляет собой прямоугольный треугольник. Площадь треугольника можно очень просто определить, не прибегая к описанному выше взвешиванию. Как известно, она равна половине произ 27 |
