Техника - молодёжи 1966-05, страница 46
„ВЕСЕЛЬЕ ГЕОМЕТРИИ" окружность, эллипс... А НТО ДАЛЬШЕ? РОДСТВЕННИКИ КАРТА? ОВАЛОВ ДЕ ВЫЧЕРТИТЬ КРИВУЮ 1024-ГО ПОРЯДКА? ЭТО ПРОСТО! I еселье геометрии» — так называл Плутарх механические изобретения Герона: эолипил — прообраз паровой турбины, автомат для открывания дверей, фигурки кузнецов, сражающегося Геркулеса и другие, которые «ходят сами собой». Иначе откосились к этнм изобретениям «чистые» философы. в частности Платон, который с негодованием говорил о тех, кто заставляет геометрию «терять свое достоинство. принуждая ее, как рабу, спускаться от вещей нематериальных, сверхчувственных к предметам материальным и чувственным, пользоваться презренной материей,..». Впоследствии успехи техники и прикладных наук ааставили всех с уважением относиться к «презренной материи», ио у «чистых» математинов надолго сохранился оттенок пренебрежения но веяного рода механическим инструментам и наглядным геометрическим методам в математике. Правда, за зто пренебрежение порой приходилось расплачиваться. Ведь общность и строгость аналитических методов действительно настолько обогнали способность человека осознавать, осмысливать полученные результаты, что даже крупные ученые нередко попадали впросан. Например, в 1870-х годах Гельмгольц придумал наглядный геометрический метод решения некоторых еадач гидромеханики, ноторый стимулировал развитие этой науки. Но скоро выяснилось, что все его результаты на 20 лет раньше были получены французским математиком Коши в аналитическом виде. Однако ни Коши. ни его ученики не сумели увидеть в сухих формулах этих важных результатов. Вот почему механический прибор или наглядный метод может иногда оказаться даже более приемлемым для техники, чем строгий метод решения дифференциальных уравнений. Кому не известен предельно простой метод вычерчивания эллипса с помощью веревочки? Ее концы закрепляют неподвижно в фокусах, а потом, передвигая карандаш так, чтобы веревочка все время была натянута, вычерчивают замкнутую >п»гаую. Это «веревочное» построение было известно древним грекам. «Веревочное» построение окружности еще проще: один конец нерастяжимой н гибкой нити занрепить надо в центре, другой — на карандаше, тогда расстояние от наждой точки вычерчиваемой кривой до центра все время остается неизменным. У эллипса сохраняется неизменной сумма расстояний от каждой точки до двух фокусов. А нак будут выглядеть кривые, у которых сохраняется постоянной сумма расстояний от наждой точки до трех, четырех, пяти и т. д. точек на плоскости? Исследование таких многофокусных нривых методами аналитической геометрии оказывается очень громоздким и трудоемким. А нельзя ли выбрать путь попроще и с темн же нехитрыми средствами — нитью, стойнами. наранда-шом — научиться быстро вычерчивать такие кривые? На приведенных рисуннах показано, как нетрудно вычерчивать, например, замниутые выпуклые нривые, плавно повторяющие конфигурацию трех фокусов. Расположим их на одной прямой — и нривая становится похожей на эллипс. Возьмем нить гораздо более длинную, чем расстояния между фокусами, — и форма нривой приблизилась к окружности. Подобным же образом вычерчиваются и 4, 5. 8... n-фокусные кривые, составляющие вместе с окружностью н эллипсом «портретную галерею родственников» — простейших миогофо-кусиых овалов. Разнося нить мэжду фокусами и карандашом, с многократными их огибаниями, можно быстро вычертить и более сложные кривые — «родственников» известных с XVII века овалов Дэнарта. Эта быстрота и легкость вычерчивания замысловатых нривых заставляют забывать. что их аналитическое исследование немыслимо без сложных и громоздких математических выкладон. Например, 3-фокусная кривая выражается уравнением 8-й степени, 4-фокусная — уравнением 18-й степени, п -фокусная — уравнением 2П й степени. Вы хотите вычертить кривую 1024-го порядка? Пожалуйста. Для этого надо разнести нить между десятью стойками-фокусами и карандашом. Вычертить ее ненамного труднее, чем З-фокусную. А вот полное аналитическое исследова ние ее впору лишь элентронно-вычне-лительной машине. До сих пор мы говорили о построении кривых, у которых сумма расстояний от каждой точкн до фокусов остается постоянной. А нельзя ли найти такой же простой метод построения кривых с постоянной разностью расстояний от каждой точ№ до фонусов? Простейшая нз таких нривых — всем известная гипербола. Кроме нее, существует обширное семейство подобных линий. Здесь есть н замкнутые кривые, похожие на серпикн, сердечки, фасолины, туфельки. Есть и незамкнутые ги-перболообразные причудливых форм, Как видите, одна или две натянутые нити и карандаш достаточны для получения настоящего фейерверка нривых. Многие из них никем и никогда ие исследовались. Да ведь это же terra Incognita — «неизведанная земля» — геометрических образов! Но. может быть, эта область осталась неизведанной как раз потому, что такие геометрические образы никому и нигде не нужны? Нет... Не преувеличив, можно считать, что без представления о нруге просто немыслим багаж современных инженерных знаний. Эллипс и гипербола тоже широко используются в задачах физини, механики, астрономии. Простота их фокальных свойств и существование явлений природы, подчиняющихся этнм зависимостям способствует их широкому применению в науке и технике. Надо помнить также, что геометрические образы, принятые на вооружение человеческой практикой, не остаются пассивным орудием, а в свою очередь, сами влияют на характер многих технических решений. Ведь в инженерной прантике решение, хотя и менее точноэ. но наиболее простое — почти всегда предпочитается точному, но трудоемкому. Например, сложность шлифовки лииз по овалам Декарта (зто дает оптимальную с точки зрения геометрической оптики форму преломляющих стекол) вынудила оптиков использовать вместо таких лннз комбинации нескольких сферических стекол. А прямоугольные проемы окон, формы строений, зданий, площадей? Не кажется ли вам. что углов и прямых линий в мире больше, чем необходимо? Простой метод вычерчивания много-фокусных нрнвых дает возможность «управлять формой» планной кривой. Физика и техника на каждом шагу встречаются с задачами, где не один-дна. а большеэ число источников (радиоволн. света, эвуна, гравитации). В некоторых случаях ти объекты можно считать фокусами кривых. И здесь поможет простой метод их вычерчивания. Обводы кораблей, дирижаблей, автомобилей. фюзеляжи самолетов. Это формы, выражение которых математически чрезвычайно трудоемко, а построение производится по эаравее рассчитанным лекалам и шаблонам. Само по себе изготовление лекал — ответственная и дорогостоящая операция. А кривые упрощают дело. Конструктор указывает на чертеже центры и радиусы отверстий или, если профиль эллиптичный, оси и параметры эллипса. Разметчику все ясно — он берет циркуль или прибор для вычерчивания эллип сов и... Так вот в чем дело! Значит, лекала, моделирующие сложные профили, используются только потому, что нет приборов (по крайней мере простых), которые бы эти контуры воспроизводили Пожалуй. и следующие ступеньки «лестницы» геометрических образов, начинающейся с окружности, эллипса, овалов Декарта и гиперболы, далеко не бесплодны для человеческой практики! Ленинград О. СЕРОВ, инженер СОДЕРЖАНИЕ А. Мицкевич, канд. фнз.-мат. наук, — Еще раз о теории относительности ......1 А. Леонов, летчин-космонавт — Над Черным морем .... 4 Г. Иваницкнй, канд. техн. наук — Цветные портреты невидимого 5 Международная викторина . . 7 Шелестят страницы.....7 Короткие корреспонденции . . 8 Стихотворения номера .... 10 Антология таинственных случаев. A. Иеолгик, инж. — Канова судьба первого самолета Нестерова? ........12 B. Шавров, авиаконструктор — Да. проектов было два ... 13 Гипноз: факты и идеи .... 14 Время искать и удивляться . . 18 В. Орлов — Данте о Луне . . 18 Г. Смкрков, инж. — Плата за скорость........10 Зри в корень! Свет — в узлах и баранках.......23 Вокруг земного шара .... 24 А. Азимов — Космические течения (роман).......26 М. Корчии, конструктор — Человек — властелин автоматов . 28 Л. Каприз — «Пионер» выходит на старт........30 А. Артюхов — Человек с ружьем.........32 С. Гущ I — «Вихрь» ожил! . . 34 Д. Трапезников, инж — Город двухтысячного?.......35 С. Червинский, инж. — Метеоритная теория грозы.....37 Клуб ТМ.........38 О. Серое, инж. — «Веселье геометрии» .........40 ОВЛОЖКА художников- 1-я стр. — Л. Рындича (к статье «Плата за скорость»); 2-я стр. — М. Сав-чекко; 3-я стр. — В. Иванова и Г. Кычакова; 4 я стр. — Н. Веч-нанова (к заметкам «Зри в корень!» и «Свет — в узлах и баранках»), ВКЛАДКИ художников; 1-я стр. — А. Леонова (космонавта): 2-я стр. — С. Наумове; 3-я стр. — В. Иванова, 4-я стр. — В. Брганв. Макет Н. Перовой. ГЛАВНЫЙ РЕДАКТОР В. Д. ЗАХАРЧЕНКО Редколлегия: М. Г. АНАНЬЕВ, К. А. Б0РИН. В. В. Г0ЛУВ0ВСКИИ. К. А. ГЛАДКОВ (научный редактор). В. В. ГЛУХ0В, П. И. ЗАХАРЧЕНКО. 0. С. ЛУПАНДИН. И. Л. МИТ-РАКОВ. А. П. МИЦКЕВИЧ, Г. И. НЕКЛЮДОВ, В. И. ОРЛОВ, В. Л ПЕКЕЛИС (заместитель главного редактора). А. Н. ПОВЕДИНСКИИ. Г. И. ПОКРОВСКИИ. Г. С. ТИТОВ. И. Г. ШАРОВ, Н. М. ЭМАНУЭЛЬ. Адрес редакции: Москва. А-30, Сущевская, 21. Тел. Д 1-15-00, доб. 4-00; Д 1-86-41; Д 1-08-01. Рукописи не возвращаются. Художественный редактор Н. Вечнанов Технический редактор Л. Будова Издательство ЦК ВЛКСМ «Молодая гвардия». Т08278. Подп. « печ. 26/IV 1066 т. Бумага 61x807». Печ. л. 5,5(5,5). Уч.-изд. л. 8,3_ Тираж 1 500 000 экз. Заказ 474. Цена 20 коп. С набора типографии «Красное знамя» отпечатано в Первой Образцовой типографии имени А. А. Жданова Главполиграфпрома Комитета по печати при Совете Министров СССР. Москва. Ж-54, Валовая. 28. Заказ МЬ 136. Обложка отпечатана в типографии «Красное знамя». Москва, А 30, Сущевская, 21. |
