Техника - молодёжи 1970-02, страница 11

останется при многих переходах от одних систем отсчета к другим. Вообще можно ли перемещать, сплющивать, вывертывать, будто тесто на доске, произвольную плоскую фигуру, соблюдая условие — не трогать углов между линиями, пересекающими ее? Можно, да еще как. Такие преобразования называются конформными. На плоскости (двумерное пространство) их сколько угодно.

Выдающийся геометр прошлого века Б. Риман доказал даже, что любая конечная или бесконечная плоская фигура без «дыр» конформно переходит в круг, достаточно лишь подобрать подходящую систему отсчета и соответственно пересчитать координаты.

Казалось бы, деформируя разными способами объемный кусок пластилина, его тоже можно преобразовать, скажем, в шар, не меняя углов между линиями того или иного «скелета». Уже современник Римана — известный французский ученый Ж. Лиу-вилль — развеял надежды. Трехмерные тела «жестче» плоских фигур. Образно говоря, в плоском мире из лилипута легко «вырастить» конформно похожего великана любой величины, а в трехмерном это уже не удастся.

До сих пор никто толком не ответил на вопрос: почему окружающий мир трехмерный, а не десяти- или стомерный? Но на примере теоремы Лиувилля видно, как важно добавление еще одной оси координат.

Все же объемные тела явно подвергаются пусть не всегда конформным, но разнообразнейшим деформациям. Отсюда понятно стремление математиков изучать такие операции в многомерных пространствах, при которых углы изменяются, но в ограниченных пределах. Подобные преобразования называются квазиконформными. Простейший пример — равномерное сжатие пространства по одной из осей.

Однако в 1938 году советский академик М. Лаврентьев высказал замечательное предположение: любое «перетекание» всего многомерного пространства в любую его часть неизбежно должно приводить к неограниченным искажениям углов, и здесь о квазиконформных преобразованиях не может быть и речи. Эта смелая гипотеза с виду чисто негативна, но твердо обоснованные правила запрета (второе начало термодинамики, принцип Паули и т. п.) часто становились краеугольными камнями научных теорий. Доказательство гипотезы углубило бы наши представления о сущности пространств, в перспективе помогло

бы крепче связать математику с материей. Цель заманчива, но очевидные подходы к ней оборачивались тупиками. Долгое время тщетны были усилия крупнейших специалистов Советского Союза, США, Финляндии и Франции.

С этого порога неизвестности и начался самостоятельный путь Владимира Зорича. Еще студентом мехмата он поставил перед собой цель — разобраться со странными деформациями целого при каждой попытке втиснуть его в собственную же часть.

Попробуем проследить основную цепочку его рассуждений. Возьмем любой объект. Каким бы диким превращениям он ни подвергался, все равно что-то в нем обязательно должно сохраняться. Это сохраняющееся «что-то» — самое важное в объекте или явлении, его и стараются выделить. Математика и все человеческое познание работает именно так — ищет и выражает в понятиях, формулах, числах, симмет-риях абстрактное, общее, которое лежит в основе всех частных случаев, всех конкретных модификаций.

Изучая преобразования многомерных пространств, математики тоже открыли особое сохраняющееся число. Они назвали его модулем. Очень и очень отдаленная аналогия — объем того или иного пространства, выраженный, к примеру, числом кубических сантиметров.

Пусть у нас роль пространства играет полиэтиленовый мешочек, заполненный несжимаемой жидкостью. Сколько ни мять это пространство, его объем неизменен. Если жидкость способна сжиматься, то число кубических сантиметров «квазисохраняется», немного уменьшается или увеличивается.

Модуль, подчеркиваем, не объем. Он «перерос» и ту величину, которая характеризует сохранение углов при различных преобразованиях. Модули вообще подсчи-тываются не для пространства, а для того или иного его «скелета». В качестве «скелета» выступает семейство специальных линий, погруженных в объем, словно железная арматура в бетон. Для каждой «арматуры» вычисляется свой модуль, который при конформных преобразованиях сохраняется строго, при квазиконформных — изменяется на конечную величину. Как же он ведет себя при «вложении» объемного целого в собственную часть?

По математическим меркам доказательство Зорича очень изящно и просто. В качестве исходного объекта он взял произвольное многомерное простран

ство и подобрал для него «скелет» с модулем, равным нулю. Затем произвольно же преобразовал это пространство внутрь себя, в часть. Раз есть часть, значит есть и граница. С ее помощью из исходного семейства линий легко построить новый «скелет» и для него подсчитать модуль, который на этот раз окааьграется отличным от нуля. Значит, при переходе от одного состояния пространства к другохму модуль изменился неограниченно — прыжок от нуля к конечному числу всегда совершается через бесконечное. Итак, преобразование даже не квазиконформно. В пространстве нет скелетоподобной ему части, оно, как говорится в математической литературе, бесподобно! Предположение Лаврентьева доказано.

Как еще «нагляднее» и «фи-зичнее» понять содержание теоремы Лаврентьева — Зорича? Математические абстракции не всегда находят прямую дорогу к физическому миру, но все же некоторые намеки на возможное поведение материи они дают. Предположим, пространство нашей вселенной тоже бесподобно, то есть полностью непластично. Стукните по одному концу вселенской пружины — и мгновенно аукнется на другом конце. Ведь через совершенно жесткую среду сигнал передается с бесконечной скоростью. Кстати, когда современная теоретическая физика вынуждена была ввести понятие о новом семействе частиц, движущихся быстрее света (знаменитые тахионы!), то сразу же последовал вывод — пространство, которое лежит перед глазами каждого; на самом деле абсолютно твердое тело!

Иными словами, пустое мировое пространство ведет себя как единое целое и ни в коем случае не ограничивается ролью чисто относительной системы отсчета. При пульсациях вселенной деформируется и наш дом, «тупеют» или «остреют» прямые углы между стенами и потолком, изменяются ритмы и амплитуды происходящих вокруг нас процессов. Если космос сколлапсирует до минимального «объема», то временные оси превратятся в пространственнопо-добные, а пространственные частью разбегутся в бесконечность, частью замкнутся на круг. Какой уж тут сохраняющийся модуль!

Несомненно, теорема Лаврентьева — Зорича очень фундаментальна и вполне заслуживает такого «космического» осмысления. Поэтому с уверенностью можно сказать: молодой советский ученый достойно продолжил славные традиции русской математической школы.

9