Техника - молодёжи 1971-11, страница 67

Математически СТРАНИЧКА

САМОВОСПРОИЗВОДЯЩИЕСЯ МНОГОУГОЛЬНИКИ

М. ГАРДНЕР

Рис. Б. Лнсенкова

Только три правильных многоугольника можно использовать для изготовления черепицы. Плотно примыкая друг к другу и бес

конечно повторяясь, эти фигуры равномерно выстилают плоскость. Но существует бесчисленное множество неправильных многоугольников, подходящих для изготовления черепицы.

к

2.

Ее можно делать, например, в виде одинаковых треугольников и четырехугольников любой формы. Каждый читатель может проверить справедливость этого утверждения, вырезав

ке 1 разделена на 4 малые трапеции, подобные большой. Каждую из этих малых трапеций можно разделить таким же образом еще на 4 трапеции и т. д. до бесконечности. Применив эту процедуру в обратном направлении, мы получим прекрасный способ покрывать крышу черепицей или пол паркетом: сложив 4 фигуры, получаем более крупную, сложив 4 крупные, получаем еще более крупную и т. д.

В 1962 году американский математик С. Голомб опубликовал исследование, посвященное многоугольникам, способным к воспроизведению самих себя в уменьшенном и в увеличенном масштабе. Он дал им название — рептайлс — рептилий (непереводимая игра слов — «реп» от слова «ре-питинг» — повторяющийся, «тайлс»— в переводе «черепица»). Если многоугольник разбивается на «к» малых равных между собой многоугольников, подобных первоначальному, то он име^ нуется повторяющимся многоугольником «К»-поряд-ка, сокращенно реп-К. Каждая из трапеций на

3.

\П УЗ V4=2

^шалпш шшпш

из картона два десятка одинаковых треугольников или четырехугольников и попытавшись сложить из них более крупные фигуры, подобные первоначальным.

Есть и еще один необычный и малоизвестный метод решения такой задачи. Обратите внимание, что каждая трапеция на рисун-

рисунке 1 имеет порядок 4. Известно лишь два многоугольника реп-2: равнобедренный прямоугольный треугольник и параллелограмм с отношением сторон 1:У2 (рис. 2). Частный случай — прямоугольник реп-2 широко известен благодаря знаменитой задаче о «золотом сечении». Художники и ар

хитекторы Возрождения широко пользовались «золотым сечением» в своих работах. Этот принцип взяли на вооружение и полиграфисты: форматы ин-фолио, кварто и октаво, получаемые после-

А Ш

4.

довательным перегибанием печатного листа пополам, имеют соотношение сторон

1: V" 2 .

Прямоугольник реп-2 принадлежит к семейству параллелограммов с соотно

шением сторон 1 : |/2, показанных на рисунке 3. Известно множество повторяющихся фигур четвертого порядка — реп-4. Любой треугольник и параллелограмм — реп-4 — и может

быть разрезан, как показано на рисунке 4. Известен лишь один пятиугольник реп-4, показанный на рисунке 5, и три шестиугольника реп-4, показанных на рисунке 6. Хотя больше неизвестно сравнительно простых многоугольников реп-4, возможны весьма замысловатые фигуры четвертого порядка, обладающие свойством самовоспроизведения. Три из них показаны на рисунке 7, правда, в центре этих фигур есть просвет, получающийся из-за того, что невозможно изобразить серию беско-

6.

нечно уменьшающихся фигур.

Любой метод рассечения 16-клеточной шахматной доски дает фигуру реп-16, а 36-клеточной — реп-36.

Идеи основополагающей работы Голомба могут быть распространены на 3 и более измерений. Простейшее самоповторяющееся тело — куб. Несомненно, существуют и другие более сложные примеры, изучение которых может дать ценные научные результаты.

ММ

Перевод с английского

63