Техника - молодёжи 1985-07, страница 45

Своего рода альтернативой существующим способам счисления выступает новая, иррациональная система, в качестве первоосновы, начала счисления которой выбрано иррациональное число (являющееся, напомним, корнем уравнения золотого сечения); через него уже выражаются другие действительные числа.

Вот как выглядит, скажем, число 5 в виде конечной суммы иррациональных чисел:

Еще раз подчеркнем: любое натуральное число всегда представимо в виде конечной — а не бесконечной, как думали ранее! — суммы степеней любой из золотых S-пропорций. Это одна из причин, почему «иррациональная» арифметика, обладая удивительной математической простотой и изящестром, как бы вобрала в себя лучшие качества классической двоичной и «Фибоначчиевой» арифметик. Вот почему она имеет огромное практическое значение в качестве системы счисления для ЭВМ будущего *.

Сегодня ни у кого не вызывает сомнений тот факт, что одним из основных путей решения важнейшей проблемы современных ЭВМ — проблемы надежности — является введение избыточности. А введение избыточности с помощью кодов Фибоначчи и золотой пропорции обладает неоспоримы

ми преимуществами по сравнению с другими, применяемыми в настоящее время способами.

Во-первых, системы счисления с иррациональными основаниями являются естественным обобщением классической двоичной системы счисления, которую они включают в качестве частного случая. Они сохраняют в себе одно из важнейших достижений математической науки прошлого — позиционность счисления, а значит, и все преимущества классического двоичного счисления: простоту арифметических операций, «наглядность» кода, возможность сдвига кодов и представления чисел с «плавающей» запятой и др.

Во-вторых, за счет большой избыточности можно создать единую систему сквозного оперативного контроля всей (без исключения) цифровой аппаратуры, и в перспективе — создать отказоустойчивые компьютеры и другую цифровую технику.

Избыточность предлагаемых систем счисления уже используется для решения других задач цифровой техники, в частности для повышения плотности и достоверности цифровой магнитной записи-воспроизведения, а также для увеличения емкости и повышения достоверности хранения информации в запоминающих устройствах на цилиндрических магнитных доменах. Так, в Винницком политехническом институте уже создан 17-разрядный, работающий на кодах Фибоначчи, преобразователь — высо

коточный, метрологически стабильный и быстродействующий. Есть все основания полагать, что эти качества в полной мере будут присущи и другим аналого-цифровым и цифро-аналоговым преобразователям, построенным с использованием нового принципа.

Отметим, наконец, что классическая двоичная арифметика, ныне используемая в вычислительной технике, обладает принципиальными недостатками: невозможно, например, выполнять арифметические действия последовательно, от старших разрядов к младшим, это резко снижает производительность ЭВМ. В компьютерах, которые будут работать с иррациональными системами счисления, эти «минусы» отсутствуют, поскольку в так называемой последовательной (поразрядной) арифметике математические операции можно выполнять начиная со старших разрядов.

Характерно, что новая высокопроизводительная арифметика и соответствующие ей арифметические узлы для нового поколения компьютеров могут найти применение в многопроцессорных вычислительных системах с программируемой архитектурой (А. В. Каляева).

Полученные результаты, несомненно, будут способствовать решительному повороту в воззрениях разработчиков ЭВМ от традиционных систем счисления к кодам Фибоначчи и золотой пропорции — системам счисления ЭВМ будущего.

* Любопытная деталь, лишний раз подтверждающая, что самые важные и полезные идеи носятся в воздухе. Когда А. П. Стахов в начале 1978 года готовил статью «Золотая пропорция в цифровой технике» для отраслевого журнала «Автоматика и вычислительная техника» (опубликована в № 1 за 1980 год. а первый вариант поступил в редакцию Л.7 1978 года), в которой впервые сформулировал свои идеи об использовании систем счисления с иррациональными основаниями в вычислительной технике, он еще не знал, что в том же, 1978 году издательство «Мир» выпускает в свет

3-й том монографии крупнейшего американского специалиста по программированию Д. Кнута «Искусство программирования для ЭВМ». И когда он прочел ее, то с удивлением обнаружил, что Кнут широко использовал методы Фибоначчи и золотого сечения для решения задач программирования. Там же и была найдена ссылка на статью американского ученого Джорджа Бергмана «Система счисления с иррациональным основанием>, опубликованную в 1957 году, в которой описан хоть и частный, но весьма важный случай, когда основанием является классическая золотая -пропорция. Хотя

Стахов описал более общий класс таких систем, тем не менее первенство открытия «иррациональных систем счисления» принадлежит Джорджу Бергману, и в последующем варианте своей статьи он внес ссылку на его работу. Характерно, что инженеры просто не заметили статью Бергмана. Она была опубликована в специальном математическом журнале, а ее автор к тому же писал так: «Я не знаю ни одного практического использования подобных систем, кроме как для умственного упражнения и приятного времяпрепровождения, хотя они могут быть пригодны для теории чисел».

НАДЕЖНЫЕ, СВЕРХБЫСТРОДЕЙСТВУЮЩИЕ

КОММЕНТАРИЙ ОТДЕЛА НАУКИ

Итак, любое действительное число может быть представлено ® принципиально новой иррациональной системе счисления, у которой есть все предпосылки стать ценным подспорьем для пользователей вычислительных машин. Но возникает вопрос — насколько оправдан отказ от традиционной двоичной системы, являющейся, как известно.

краеугольным камнем в громадном здании современной индустрии обработки данных?

Новый способ кодирования чисел, предлагаемый профессором Стаховым, обеспечивает легкость обнаружения случайных ошибок в информации. Но справедливости ради заметим, что сегодня найдены другие, достаточно простые методы распознавания сбоев. Так, в ЕС ЭВМ каждый байт состоит, ео-первых, из

восьми битов, в которых записана информация с помощью двоичного кода, а во-вторых, из дополнительного, служебного девятого .бита, называемого «битом четности». Если в восьми .информационных битах хранится число, содержащее четное количество двоичных единиц, то бит четности устанавливается в позицию «1», а если нечетное количество — то е «0». Таким образом, в правильном, неискаженном байте общее ко

43