Техника - молодёжи 1985-07, страница 44

ницы. а каждый из последующих равен сумме двух членов: предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Теперь, если n-й член этого ряда мы обозначим через jPs(n), то получим искомую общую формулу;

ffsfn)*^ (п—1) +?>s (n S 1).

Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим «двоичный» ряд, при S=1 — ряд Фибоначчи, при S=2, 3, 4... новые ряды чисел, которые получили название S-чисел Фибоначчи.

К этим-то S-числам Фибоначчи мы с харьковским математиком И. В. Ви-тенько и пришли в 1964 году, когда решали описанную Фибоначчи задачу о наилучшей системе гирь, но в более общем случае — с учетом так назы ваемого «принципа асимметрии измерения».

Что такое обобщенные золотые сечения, называемые также золотыми S-сечениями? Снова обратимся к рисункам на 4-й стр. обложки. Отрезок АВ разбит точкой С так, что /АВ * СВ \СВ/ АС •

Так вот, золотая S-пропорция есть положительный корень уравнения золотого S сечения: X^s+'—X^s—1 = 0

Нетрудно показать, что при S = 0 получается деление отрезка пополам, а при S = 1 — уже знакомое классическое золотое сечение!

Выше мы установили математическую связь между золотым сечением и числами Фибоначчи. Возможно, нечто подобное существует между S-числами Фибоначчи и золотыми S-сечениями? И действительно, отношения соседних S-чисел Фибонач чи a_s с абсолютной математиче ской точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! Матема тики в таких случаях говорят, что золотые S-сечения являются числовыми инвариантами S-чисел Фибоначчи.

В таком случае возникает правомерный вопрос: не обнаруживают ли себя числа a_s подобно тому, как это было, скажем, с числом а= 1,618, в каких-либо явлениях природы?

В статье профессора А. Соколова «Тайны золотого сечения» (см «ТМ* № 5 за 1978 г.), научного ру ководителя лаборатории бионики МЭИ, высказывается интересная гипотеза о существовании некоторых числовых инвариантов, характеризующих волны электрической активности головного мозга. И действительно, физиологами, исследующими ритмы мозга, обнаружено, что инвариант главной волны бета равен 1,618. Ин варианты других известных волн — дельта, тэта, альфа и гамма, — вычисляемые из значений их гранич ных частот и из уравнения золотого сечения (применительно к данному явлению), равны 1,221; 1,324; 1,272 и 1,272. Инварианты волн альфа и гамма одинаковы — это под

тверждают эксперименты. Последующие математические исследования всех известных волн электрической активности мозга позволили восстановить систему алгоритмов, которая предсказывает существование волн с инвариантами 1 464 и 1,380;

А инварианты волн мозга 1,618, 1,464, 1,380, 1,324 есть не что иное, как золотые S сечения, соответствующие значениям S=l, 2, 3, 4!

Еще более удивительные факты, подтверждающие существование золотых S-сечений в природе, приводит белорусский философ Э. М. Сороко в книге «Структурная гармония систем» (Минск, «Наука и техника», 1984). Оказывается, например, что хорошо изученные двойные сплавы обладают особыми, ярко выраженными функциональными свойствами (устойчивы р термическом отношении, тверды, износостойки, устойчивы к окислению и т. п.) только в том случае, если удельные веса исходных компонентов связаны друг с другом одной из золотых S-пропорций. Это позволило автору выдвинуть смелую гипотезу: золотые S-сечения есть числовые инварианты не только мозга, но и любых самоорганизующихся систем. Будучи подтвержденной экспериментально, эта гипотеза (закон гармонии систем) может иметь фу и даментальное значение для развития синергетики — новой области науки, изучающей процессы в самоорганизующихся системах.

...Теперь вновь обратимся к процедуре взвешивания, описанной Фибоначчи. Но на этот раз веса гирь выберем в соответствии с каким-либо S-рядом Фибоначчи, а не с «двоичным» рядом. Очевидно, что результат взвешивания можно будет записать в том же виде: есть гиря —• нет гири того или иного веса. Но ведь вес груза выражается числом — значит, мы прйшли к новому способу двоичного представления любых чисел. Это и есть S-коды Фибоначчи.

Скажем, взвешивая «Фибоначчие-выми» гирями вес в 15 кг, можно использовать такой их набор: 13 кг — 1; 8 кг — 0; 5 кг — 0; 3 кг — 0; 2 кг — 1; 1 кг 0, 1 кг — 0. Или такой: 8 кг — 1; 5 кг — 1; 3 кг — 0; 2 кг — 1; 1 кг — 0; 1 кг — 0. В коде Фибоначчи это запишется так: 1000100 или 110100. В этой неоднозначности и заключено главное свойство S-кодов Фибоначчи.

При S>0 они являются избыточными, поскольку каждому такому числу соответствует некоторое множество кодовых комбинаций, все элементы которого могут быть получены с помощью так называемых операций «свертки» и «развертки», представленных в виде 0 и 1 кода Фибоначчи. Не вдаваясь здесь в математические подробности этого процесса, отметим лишь, что денежные системы многих стран широко его

используют. Так, начальный ряд монет, принятых в СССР, соответствует ряду Фибоначчи: 1, 2, 3..., а их размен (5 = 3 + 2, 3 = 2+1, 2=1 + 1) соответствует операциям «развертки» и «свертки» в коде Фибоначчи. Подчеркнем: подобно тому, как при денежных разменах сумма находящихся в обращении денег остается неизменной. так и при «свертке» и «развертке» двоичных разрядов не изменяется закодированное число.

Какое же практическое значение имеет обнаруженное свойство S кодов Фибоначчи? Выполним все возможные операции «свертки». Получится кодовая комбинация с удивительным свойством — двух единиц в ней рядом не встретится! А если вы полнить все операции «развертки»? Правильно: ни разу не обнаружится рядом двух нулей. В этом удивительном математическом свойстве просматривается могучее средство контроля и обнаружения отказов в будущих вычислительных структурах, ра ботающих с использованием кода Фибоначчи. Ибо задача создания отказоустойчивых вычислительных систем сводится прежде всего к проблеме обнаружения отказов, что и обеспечивают коды Фибоначчи и золотой пропорции, являющиеся как бы естественным обобщением классического двоичного способа кодирования чисел. Общими у них оказываются лишь способы позиционной нумерации действительных чисел, причем при S=0 код золотой S-npo-порции и сводится к классическому двоичному коду.

Дальнейшим развитием способа явились коды золотой S пропарции. С их помощью можно выразить любое действительное число в виде суммы степеней золотых S-пропорций с двоичными коэффициентами 0 и 1.

Принципиальное отличие нового способа кодирования чисел заключается в том, что основания новых кодов, представляющие собой золотые S-пропорции, при S>0 оказываются иррациональными числами. Таким образом. новые системы счисления с иррациональными основаниями как бы ставят «с головы на ноги» истори чески сложившуюся иерархию отношений между числами рациональными и иррациональными. Дело в том, что сначала были «открыты» числа натуральные; затем их отношения — числа рациональные. И лишь позже — после открытия пифагорейцами несоизмеримых отрезков -— на свет появились иррациональные числа. Скажем, в десятичной, пятеричной, двоичной и других классических позиционных системах счисления в качестве своеобразной пеовоосновы были выбраны натуральные числа 10, 5, 2, — из которых уже по определенным правилам конструировались все другие натуральные, а также рациональные и иррациональные (в пределе) числа.

42