Техника - молодёжи 1985-07, страница 43

ниматься двоичной системой счисления? Анализ «Книги о счете» показывает, что собственно система счисления его интересовала мало. Иное дело — практические нужды торговли: с помощью какого наименьшего количества гирь можно взвесить товар? Фибоначчи доказывает, что оптимальной является такая система гирь: 1, 2, 4, 8, 16... (которую мы также назовем «двоичной» и возьмем в кавычки).

Взвешивание надо начинать с самой тяжелой из всех гирь, имеющихся в нашем распоряжении (разумеется, мы не рассматриваем тот случай, когда опытный продавец «на глазок» определяет вес товара, а затем с помощью гирь лишь окончательно уточняет его). Дальнейшие действия таковы. Если гиря тяжелее груза (то есть весы, которые могут принимать положение либо 0, либо 1, оказываются в положении 0), то ее надо заменить другой, ближайшей по весу. А если легче (положение 1) — оставить и добавить также следующую. Процедура продолжается до тех пор, пока не будет использована самая мелкая гиря. В результате получим, что товар весом, скажем, в 13 кг можно уравновесить таким вот набором «двоичных» гирь. 16 кг — 0; 8 кг — 1; 4 кг — 1; 2 кг — 0; 1 кг — 1. И если теперь условимся всегда считывать результат именно в таком порядке — сначала тяжелые гири, затем более легкие, вес груза можно указать в двоичном коде: 01101.

Вернемся теперь к задаче о золотом сечении отрезка, известной со школы также под названием задачи

о делении отрезка в крайнем и среднем отношении — ее решение приведено на 4-й стр. обложки. Свойства золотого сечения — оно описывается уравнением X²—X—1=0, равного

2

создали вокруг этого числа романтический ореол таинственности и чуть ли не мистического поклонения.

Золотое сечение являлось своего рода жемчужиной пифагорейского учения о числовой гармонии мира. Позже принципы золотого сечения

легли в основу композиционного построения многих произведений мирового искусства, начиная с архитектуры античности.

Вся древнегреческая культура развивалась под знаком золотой пропорции. Греки первые установили пропорции хорошо сложенного человеческого тела подчиняются ее законам, что особенно хорошо видно на примере античных статуй (Аполлон Бельведерский, Венера Милосская). Фригийские гробницы и античный Парфенон, театр Диониса в Афинах — все они исполнены гармонии золотой пропорции.

В эпоху Ренессанса золотая пропорция возводится в ранг главного эстетического принципа. Леонардо да Винчи, Рафаэль, Микеланджело, Тициан и другие великие художники Возрождения компонуют свои полотна, сознательно используя золотое сечение. Нидерландский композитор XV века Якоб Обрехт широко использует золотое сечение в своих музыкальных композициях, которые до сих пор уподобляют «кафедральному собору, созданному гениальным архитектором».

В XIX веке уже не художники, а ученые-экспериментаторы, изучавшие закономерности филлотаксиса (расположения цветков), вновь обратились к золотой пропорции. Оказалось, что цветки и семена подсолнуха, ромашки, чешуйки в плодах ананаса, хвойных шишках и т. д. «упакованы» по логарифмическим спиралям, завивающимся навстречу друг другу. При этом числа «правых» и «левых» спиралей всегда относятся друг к другу как соседние числа Фибоначчи

Н 4-й стр. обложки

(13:8, 21:13, 34:21, 55:34). А ведь это отношение в пределе дает нам золотую пропорцию!

В наши дни интерес к числам Фибоначчи и золотому сечению возродился с новой силой. В целом ряде музыковедческих работ подчеркивается наличие золотого еечения в композиции произведений Баха, Шопена, Бетховена. Сергей Эйзенштейн использует золотое сечение при мон таже эпизодов своих кинокартин. Академик Г. В. Церетели обнаруживает, что гармония стиха в поэме Шота Руставели «Витязь в тигровой

шкуре» подчиняется золотому сечению *...

Наряду с прикладными исследованиями ученые продолжают активно развивать теорию чисел Фибоначчи и зрлотого сечения. Советский математик Ю. Матиясевич с использованием чисел Фибоначчи решает 10-ю проблему Гильберта. Возникают изящные методы решения ряда кибернетических задач (теории поиска, игр, программирования) с использованием чисел Фибоначчи и золотого сечения. В США создается даже Математическая Фибоначчи-ассоциа-ция, которая с 1963 года выпускает специальный журнал.

Одним из последних достижений в этой области является и открытие обобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых сечений.

Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и открытый им же «двоичный» ряд гирь 1, 2, 4, 8, 16... на первый взгляд совершенно разные.

Но алгоритмы их построения весьма похожи дру!' на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой (2=1+1; 45=2+2...), во втором — 5то сумма двух предыдущх чисел (2=1 + 1, 3=2+1, 5=3+2...). Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибоначчи? А может быть, эта формула даст нам новые числовые множества, обладающие какими-то .новыми уникальными свойствами?

Действительно, зададимся числовым параметром S, который может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5... И рассмотрим числовой ряд, S+i первых членов которого — еди-

• Изучая структуру произведения, ученый его решил «арифметиэироватъ», то есть заменил каждое слово числом, равным количеству слогов в нем. Получился перевод поэмы на числовой языр. Анализируя этот перевод всех 6348 шест-надцатисложных строк, он обнаружил в изящных и звучных стихах золотое сечение, характеризующееся числами 3, 5 и 8.

ПРОПОРЦИИ,

для ЭВМ будущего?..

41