Техника - молодёжи 1992-10, страница 16

управляющие все более сложными процессами и структурами, которые казались бессистемными. Вот и в странном мире хаоса и турбулентности начиная с 70-х годов ученые стали находить непривычную, но вполне определенную упорядоченность.

Наглядно пояснить, какая же именно система выявляется в хаосе, помогают особые геометрические структуры — фракталы. Их название происходит от латинского слова «fractus» — сломанный, разбитый, расчлененный. Именно этим свойством и отличается всякая фрактальная структура от привычных нам фигур или тел. Дело в том, что она не задается сразу в готовом виде, как, скажем, окружность или куб, а образуется путем бесконечного (в принципе) повторения какой-либо исходной формы во все уменьшающемся масштабе по определенному алгоритму, инструкции или формуле.

Вот простейший пример. Пусть исходной фигурой будет та же обычная окружность. На первом шаге повторения заменим ее тремя одинаковыми меньшими окружностями — вписанными в исходную так, чтобы все они касались друг друга. (Ясно, что это возможно сделать единственным образом — когда их центры расположатся в вершинах равностороннего треугольника.) На втором шаге проделаем точно ту же операцию с каждой из трех новых фигур. В результате их станет уже девять. Повторяя процесс шаг за шагом, мы увидим, что число окружностей быстро растет, их диаметр соответственно уменьшается, но самое главное — формируется фигура, ничем не напоминающая исходную. Это как бы пунктирно очерченный равносторонний треугольник, делящийся внутри на новые и новые треугольнички. В пределе же, после бесконечного числа шагов, в получившемся фрактале вообще не останется никаких окружностей — все они стянутся в точки, расположенные в вершинах равносторонних треугольников.

В этом примере проявляется ряд интересных свойств фрактальных структур.

Во-первых — их окончательный, предельный вид совершенно не зависит от исходной фигуры (ко

торая в конце концов полностью «перемалывается»), но целиком определяется алгоритмом преобразования. Причем оказалось, что, несмотря на крайнюю простоту этого алгоритма, в итоге могут возникать необычайно сложные, причудливые, совсем не регулярные формы. Это одна из важнейших для практики особенностей фракталов, в чем мы убедимся дальше.

Во-вторых, в результате бесконечного измельчения сама размерность фрактала становится... дробной величиной! Кажется вполне очевидным, что число пространственных измерений любого объекта может быть только целым. Скажем, у точки оно равно 0, для непрерывной линии (в том числе у той же окружности) это 1, у нормальной плоской фигуры — всегда 2, а у сплошного объемного тела — только 3, и никак иначе. Но тогда каким числом надо охарактеризовать, например, описанный выше «треугольный» фрактал? С одной стороны, он как будто бы формируется из одномерных окружностей. С другой—каждая такая окружность в пределе стягивается в точку. А с третьей — точек все равно получается бесконечно много. Не остается иного выхода, как приписать подобному объекту промежуточную размерность между 0 и 1. Существуют методы количественной оценки дробного числа измерений. Так, для артерий человека, ветвящихся на все более тонкие сосуды (да-да, это тоже фрактальные структуры!), данный параметр равен 2,7.

Наконец, третье важнейшее свойство — так называемое самоподобие: при каком бы увеличении ни рассматривались эти структуры, в них постоянно повторяется, все уменьшаясь, одна и та же форма (в нашем примере — пунктирный треугольник). Вот здесь и проясняется связь между фракталами — пространственными объектами — и хаотическими процессами, протекающими во времени. Дело в том, что такие процессы, как выяснилось, тоже повторяют свою крупную структуру на все более коротких временных интервалах, то есть обладают тем же самоподобием. Значит, фракталы можно считать пространственными аналогами

хаотических процессов — и наоборот. А поскольку за видимой сложностью фрактала, как мы уже знаем, скрывается очень простой алгоритм, то и «временной хаос» на самом деле по-своему упорядочен!

Но наш треугольник — весьма примитивная и однообразная фрактальная структура. Другое дело — уже упомянутое множество Мандельброта (ММ) — настоящий король фракталов, самый сложный и интересный среди них объект. Назван он по фамилии открывшего его математика из фирмы ИБМ Бенуа Мандельброта.

Как и всякий фрактал, ММ задается удивительно простым алгоритмом: z«-z²+c. Здесь переменная z и константа с - комплексные числа, отображаемые точками на координатной плоскости, где и формируется пространственный образ множества. Работа алга-ритма состоит в последовательном вычислении сумм, причем в формулу каждый раз подставляется значение z, полученное на предыдущем шаге. Для канонического вида ММ начальная величина z = 0. Ясно, что в этом случае алгоритм сводится к бесконечной формуле ...(((с² + с)² + с)² + с)²+ ...

Для любого значения числа с возможен один из двух результатов вычислений. Либо сумма постоянно растет — быстрее или медленнее, но рано или поздно «улетая» в бесконечность. Либо она остается конечной, сколько бы шагов ни сделал алгоритм (на практике берется не более 1000, что вполне достаточно).

Если теперь на комплексной плоскости окрасить черным все значения с, не «уводящие» сумму в бесконечность, из них складывается фигура странной формы (первая из серии снимков — в левом верхнем углу). Повернув это изображение на 90° по часовой стрелке, можно усмотреть в нем очертания некоего «черного карлика». В таком виде и предстает перед нами множество Мандельброта. Если вы не узнали в нем прекрасного озера на обложке, то учтите, что там черный цвет заменен на голубой — просто «для эстетики»: смысловой нагрузки тут нет.

А вот горы, окружающие наше

14