Техника - молодёжи 2003-05, страница 28

нее сейчас не может обойтись фактически ни одна область знания (хотя известный физик Ричард Фейнман и утверждал, что математика — не наука, но искусство, а другой тоже известный физик Юджин Вигнер недоуменно вопрошал: почему математика, имеющая дело лишь с числами и уравнениями, вообще позволяет верно описывать явления, реально наблюдаемые в природе?). Теория же чисел — королева математики.

Осознать некоторые факты, позволяющие по-новому (в контексте идей Пифагора) взглянуть на мир чисел, помогут знакомые всем натуральные числа. Как ни парадоксально, но бесконечный ряд натуральных чисел (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и т.д.) представляет собой один из самых сложных и интересных объектов математики. Чтобы это понять, достаточно усвоить несколько несложных определений, приводимых ниже, а также немного повозиться с натуральным рядом с помощью компьютера.

ВОТ ЭТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ. Назовем ТИПОМ числа Т количество всех его делителей. Например, у числа N = 24 восемь делителей — 1,2,3,4, 6, 8, 12, 24, то есть его тип Т = 8. Число можно также охарактеризовать величиной S — суммой всех его делителей, которое назовем БОГАТСТВОМ; так, для числа 24 его богатство S = 1 +2 + 3 + 4 + 6 + 8+ 12 + 24 = 60. А параметр S/N будем называть КРАТНОСТЬЮ числа (напомню, что здесь и далее речь идет только о натуральных числах); для числа 24 его кратность составляет величину 60/24 = 2,5.

Чисел, тип которых равен 8, бесконечно много: 24, 30, 40, 42, 54, 56, 66... Поэтому можно говорить, что все они образуют мир № 8. Только мир № 1 имеет одно единственное число N = 1, а все остальные миры (№ 2, 3 и т.д.) бесконечны, причем бесконечно и количество самих миров (Т = 2, 3...). Правда, среди них особое место занимает мир № 2, поскольку у составляющих его чисел есть всего два делителя — 1 и само число N; это так называемые простые числа 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 и т.д.

Еще в IV в. до нашей эры Евклид доказал, что любое число можно однозначно представить в виде произведения простых чисел: например, 261360 = 2⁴- З^3- 5¹ • 11², и всякий другой набор простых чисел (другое каноническое разложение) никогда не даст числа 261360. В этом смысле простые числа представляют собой своеобразный базис всех натуральных чисел.

Несмотря на свое название, простые числа — камень преткновения для математиков. Так, только в 1896 г. удалось доказать гипотезу Гаусса, согласно которой на отрезке от 1 до N содержится около п - N/lnN простых чисел (назовем ее формулой Гаусса), причем чем больше N,

тем точнее результат; из этой формулы можно вывести и обратное утверждение: N - п • Inn, где п — порядковый номер простого числа N внутри мира № 2.

Примечательно, что в самом начале натурального ряда формула Гаусса и обратная ей формула «не работают». Так, на отрезке от 1 до 10^го приходится использовать формулу вида N - (1пл)- n- Inn, где я = 3,14... — отношение длины окружности к ее диаметру. Интересно, что на отрезке от 1 до N при N отношение суммы всех чисел к сумме всех их делителей стремится к числу 6/л².

Формула Гаусса — это не только яркая иллюстрация сложнейшей внутренней структуры чисел, но и пример того, что в начале натурального ряда явно существует своеобразная «сингулярность» — область, в которой заканчивается действие известных науке законов. Любопытно, что, с точки зрения современной космологии, Вселенная в первые мгновенья после своего рождения тоже находилась в состоянии сингулярности.

ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ — основные формы существования материи, их математические описания имеют решающее значение для построения физической картины мира. Во Вселенной средняя плотность видимого вещества оценивается как один атом на куб пространства со стороной 1,77 м, то есть наш мир представляет собой практически пустоту. Что же касается времени, то оно кажется нам непрерывным, хотя минимальный интервал, необходимый для протекания любого физического процесса, не может быть менее 5,4-10 ⁴⁴ с (назовем эту величину элементарным временным интервалом, сокращенно эви); за это время фотон, движущийся со скоростью 3-10⁸ м/с, может преодолеть расстояние, равное 1,6-10 ³⁵ м (одну элементарную единицу длины).

Но почему, начав разговор о числах, мы вдруг перешли к физике? Да потому, что природа едина, и не случайно современная теоретическая физика представляет собой, по существу, суперсложную математику. Отождествив число «1» с одним эви, мы неожиданно придем к выводу, что структура чисел в некоторой степени подобна структуре реального про-странства-времени. (Подробно об этом можно прочитать в моей книге «Параллельные миры...», выпущенной в 2002 г. в Санкт-Петербурге издательством «ЛИСС».)

Структуру натуральных чисел можно исследовать совершенно элементарными методами (в том числе и графическими, с помощью компьютера) на так называемом Большом отрезке (от N = 1 до N- 10⁶¹), который после эви-конвертации примерно равен возрасту Вселенной (10⁶¹ эви - 17,2 млрд лет).

Рассмотрим лишь некоторые слу

чаи пересечения виртуальных числовых миров и физической реальности. Об одной такой аналогии, сингулярности, я уже упоминал. А 10^2С эви соответствуют 10^-23 с — так называемому ядерному времени, то есть времени, за которое фотон способен преодолеть расстояние, равное протону, благодаря чему эта частица представляет собой единое целое.

Нетрудно подсчитать, что в одной нашей секунде содержится около 10⁴³ эви. Поэтому в начале Большого отрезка успевает «промелькнуть» около 10⁴³ первых натуральных чисел, или около 10⁵ различных числовых миров.

О мирах №1,2 мы уже говорили, но можно выделить несколько миров (например, № 8, 16 и других), вероятность появления которых существенно больше остальных. То есть, по человеческим меркам времени, несколько числовых миров существуют как бы «одновременно», что можно воспринимать как аналог «параллельных миров» современной теоретической физики (вспомним в связи с этим гипотезу Эверетта).

МАТЕМАТИКИ НЕ СЧИТАЮТ единицу простым числом. А если, нарушая все каноны математики, подставить единицу в формулу Гаусса, то придем к поразительному выводу, что п - N/InN 1/ln1 1/0 то есть порядковый номер первого простого числа устремляется к бесконечности! Но это же происходит и в том случае, если N ->ос! Поэтому напрашивается совершенно крамольный вывод о том, что мир натуральных чисел, как и физический мир, в некотором смысле замкнут, и единица ближе всех других натуральных чисел к бесконечности.

В связи с этим стоит вспомнить теорию академика М.А. Маркова, согласно которой вся наша гигантская Вселенная может представлять собой мир, так называемый фридмон, который «снаружи» выглядит лишь как элементарная частица практически точечных размеров.

Все это заставляет нас более внимательно относиться к суждениям наших далеких предков, чьи мысли было принято считать примитивными. Какова физическая реальность, лежащая за пределами современной теоретической физики? Никто этого не знает. Но можно утверждать, что принципы математики лежат в основе всех самых глубоких знаний о природе вещей.

В свойствах математических уравнений можно находить физические закономерности, скрытые от нас до появления данного уравнения — в этом и заключается самая непостижимая эффективность математики, о которой писал Вигнер. Возможно, все дело в том, что природе присуща скрытая гармония, которая отражается в наших умах в форме простых математических законов. ■

ТЕХНИКА-МОЛОДЕЖИ 5 ' 2 0 0 3

28