Юный техник 1967-12, страница 48

теорема из школьного учебника геометрии: «центр тяжести угольника делит медиану в отношении 1 :2, считая отрезки от основания». Разберемся в этом повнимательнее. Из вершины треугольника мы проводим линию в середину, то есть в центр тяжести основания, и, отмерив на ней от основания ровно одну ее треть, попадаем как раз в центр тяжести. Ие мудрствуя лукаво, поступим точно так же и с тетраэдром: соединим его вершину С центром тяжести основания треугольника. Оказывается, центр тяжести тетраэдра лежит как раз на этой линии, на расстоянии одной ее четверти от основания! Найдя центр тяжести тетраэдра, мы заодно нашли и аналогию, которая позволит «расправиться» с N-мерным симплексом. Рецепт весьма прост: соединяем его вершину с центром тяжести (N—1)-мерного основания, откляггываем на этой линии от основания ее (Ы + 1)-ую часть и попадаем в искомый центр тяжести.

Чудесный метод аналогии позволяет описать и внешний вид N-мерного симплекса, например, сосчитать

его вершины, грани, ребра... Как повелось, сначала изучим отрезок. У него две «вершины» и одна «сторона». Треугольник. Здесь уже три вершины, три стороны, одна грань, — ограниченная сторонами часть плоскости. У тетраэдра таких граней четыре, а ребер и вершин — соответственно 6 и 4, к тому же у него есть и трехмерный элемент — объем. Составим теперь из этих чисел небольшую табличку.

I 2 I 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1

Опытный глаз сразу усмотрит в ней «верхушку» так называемого треугольника Паскаля. Конструкция этого треугольника весьма проста: записываем в строчку I 2 1, под каждой парой чисел записываем их сумму и с боков приписываем по единичке, затем составляем точно так же следующую строчку. Когда мы составим таким способом четвертую, она-то и опишет нам четырехмерный симплекс: у него один четырехмерный элемент (его объем), пять трехмерных граней, десять двумерных граней, десять одномерных ребер и пять нульмерных вершин. Выписывая строки одну за другой, мы доберемся до любой, интересующей нас N-й строки.

Все наши выводы, конечно, не строги, это только догадки, но догадки оправданные. Каждую из них можно строго обосновать, но сколько для этого понадобилось бы сил, времени, хитроумных рассуждений! Пришлось бы развить целые теории! А простой метод аналогии позволил буквально на пальцах по-. знакомиться с некоторыми увлекательными свойствами диковинного N-мерного пространства.

Рис. 1. В одномерном пространстве.

Рис. 2. Нульмерное пространство.

Одномерное пространство.

Двумерное пространство.

Трехмерное пространство.

Четырехмерное пространство.

Рис. 3. Странно будет выглядеть мир, в котором предметы лишены третьего измерения. В нем собака не будет знать ошейника.

Рис. 4. Портрет четырехмерного гиперкуба.