Юный техник 1967-12, страница 47

в сущности, одним и тем же способом: в пространство вводится система координат и вершина ее отсекается. Возьмем за начало координат точку 0, проведем из нее луч, точку О отделим затем булавкой — у нас получится тот самый отрезок Если теперь перед нами плоскость, от некоторой ее части, ограниченной осями координат, острием ножа отрежем начало, — получится треугольник. А если теперь у нас часть трехмерного пространства, лежащая между осями х, у, г, — отпилим ножовкой уголок, и тетраэдр готов! Дотошный читатель уже заметил, вероятно, что размерность наших инструментов, а значит, и наших сечений на единицу меньше размерности пространства. Кончик булавки — нульмерная точка, острие ножа — одномерная прямая, полотно ножовки— двумерная плоскость. Так что, собираясь в путешествие по N-мерному пространству, не забудьте захватить с собой (N — 1)-мерную «ножонку». И если на глаза вам попадется кусочек N-мерного пространства, заключенный между N осями координат, отпилите начало координат. В руках у вас окажется простейшее из тел N-мерного пространства, N-мерный симплекс, как говорят математики. Конечно, трехмерной «ножовки» не сделает самый опытный слесарь, но ведь это понятие отвлеченное, математическая абстракция, необходимая для серьезного исследования.

Итак, будем считать, что N-мерный симплекс в наших руках. Его свойства для нас, трехмерных людей. кажутся поистине поразительными. Например, в основании четырехмерного симплекса лежит... трехмерный тетраэдр! Может быть, это не сразу сообразишь, но понять это все же можно. Вспомним: в основании двумерного треугольника лежит простейшая одномерная фигура — отрезок, в основании трехмерного тетраэдра — простейшая плоская фигура — треугольник... Так что ничего неправдоподобного в нашем утверждении об основании четырехмерного симплекса нет.

о о-с о о

о i г

А теперь займемся N-мерным симплексом вплотную. Скажем, вычислим его объем. Вспомним прежде, как вычисляются площадь треугольника, объем тетраэдра. По очень простой формуле: «основание на высоту, деленное на...» На что именно? У двумерного треугольника — на два, у трехмерного тетраэдра — на три... так и хочется сказать, у четырехмерного симплекса на четыре. А почему бы и нет? Не может быть, чтобы такая красивая закономерность была простой случайностью! Аналогия подсказывает недвусмысленно: чтобы вычислить четырехмерный объем

четырехмерного симплекса, надо умножить его высоту на объем тетраэдра, лежащего в основании, и результат разделить на четыре — на число измерений пространства. Отсюда уже ведалеко и до формулы, по которой легко и просто отыскинзется объем любого N-мерного симплекса: «основание на высоту, деленное на N».

Что еще может дать нам метод аналогии? Например, позволит запросто определить центр тяжести N-мсрного симплекса, если, конечно, он однороден — в нем нет ни уплотнений, ни пустот. О чем говорит нам в этом случае отрезок? Центр тяжести лежит у него как раз посредине. За треугольник ответит

43