Юный техник 1976-01, страница 64

измерения плотности частиц сахарного песка можно предложить (8—9-й кл.)?

ВСТУПИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ

1. Найти значение выражения

J а + bx + } a — bx

J а + bx | a — bx

при

2 am

b (1 + m²)

(a>0, b>0, m>0) (7-й кл.).

2. Вкладчик взял из сберегательной кассы сначала '/б часть своих денег, потом 50 руб. и, наконец, ²/₅ оставшейся суммы. Всего за три раза он взял 510 руб. Сколько денег после этого осталось у него в сберкассе (7-й кл.)?

3. Построить ромб по заданной стороне «а», если известно, что диагонали относятся как га : п (7-й кл.).

4. Двузначное число, деленное на сумму своих цифр, дает в частном 4 и в остатке 3; если цифры этого числа переставить, то получится число, на 5 большее ушестеренной суммы его цифр. Найти это число (7—8-й кл.).

5. Сократима ли дробь

14 Ш + 3 .

21 ш + 4

где гп — целое число (7—8-й кл.)?

6. Найти все действительные значения х, при которых корни уравнения

(а+1)х²+2ах+а+3 = 0 положительны (8-й кл.).

7. В прямоугольном треугольнике найти отношение катетов, если высота и медиана, выходящие из прямого угла, относятся как 40 : 41 (8—9 к. ).

8. Сумма членов и разность арифметической прогрессии поло

жительны. Если увеличить разность прогрессии на 2, не меняя ее первого члена, то сумма ее членов увеличится в 3 раза. Если же разность исходной прогрессии увеличить в 4 раза, не меняя первого члена, то сумма членов прогрессии увеличится в 5 раз. Определить разность исходной прогрессии (8—9-й кл.).

9. В равнобедренном треугольнике ABC [АВ]=[ВС] на высоте [BD] как на диаметре построена окружность. Через точки А и С к окружности проведены касательные [AM] и [CN], продолжения которых пересекаются в точке О. Определить отношение

[ABl [ОМ1

- , если- ^k

[АС] [АС]

и высота [BL)] больше основания [4С] (8—9-й кл.).

10. Автобус из пункта А и автомобиль из пункта В отправляются одновременно и осуществляют безостановочное движение с постоянными скоростями между А и В. Первая встреча их произошла через 42 мин после начала движения, а через 2 ч 34 мин после начала движения автомобиль первый раз обогнал автобус. Через какое время после начала движения автобус и автомобиль первый раз окажутся одновременно в пункте А (8—9-й кл.)?

11. Доказать методом математической индукции неравенства

1 1 1

.Г— /. ..........л— ) П

И >2 } п

при п^2 (9-й кл.).

12. Найти число всех трехзначных чисел, составленных из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы в каждое число входило не более двух одинаковых цифр (9 кл.).

13. Последовательность (х-п) задана рекурентной формулой

х, = — , 2

= - + 2

-, п ^2,

причем 0<а<1. Найти предел последовательности (9-й кл.).

61