Юный техник 1967-04, страница 19
не можем ни подскоки, ни числа сосчитать?» Вот если бы на школьном вечере мы задались целью узнать, сколько пришло юношей и девушек, дело другое. Посчитав тех и других, мы действительно сможем определить, одинаковое ли их число. Потому что и то и другое число конечное. А разве есть ответ на вопрос — чего больше: натуральных чисел или, например, рациональных, когда тех и других бесконечно много? Оказывается, есть Нам поможет так называемый принцип взаимно-однозначно-го соответствия. Он применим и на школьном вечере. Заиграла музыка, начались танцы. Если каждый юноша танцует с девушкой и никто не подпирает спиной стену, ясно, что и тех и других поровну. Вот так же этот принцип осуществляется и в математике. Имеются два множества, состоящие из каких-то элементов (будь то числа, фигуры илЪ точки — безразлично). Ее пи каждый элемент одного множества можно привести в соответствие с элементом второго множества и во втором при этом не окажется лишних элементов, то эти множества называются равномощными. В нашем случае с шариком множество всех подскоков и множество всех натуральных чисел равномощны потому, что каждому подскоку легко дать свой номер и для их нумерации мы используем все натуральные числа. Но вернемся к заданному вопросу: «Чего больше — натуральных чисел или положительных рациональных?» Казалось бы, «перевешивают» рациональные. Чтобы пронумеровать все числа только п одного вида—, уже нужны все натуральные числа! Впрочем, никто нас не заставляет нумеровать рациональные числа именно так. Попробуем сделать иначе. Числом 1 занумеруем дробь ;/ь числом 2 — дробь У2, числом 3 — дробь 2/ь числом 4 — дробь Уз, числом 5 — дробь 2/г, числом 6 - дробь 3/j и т. д. Установим следующий порядок: из двух дробей нумеруем раньше ту, у которой меньше сумма числителя и знаменателя, а уж если эти суммы равны, то отдадим предпочтение той, у которой меньше числитель. Тогда каждой дроби достанется свой номер и не останется лишних номеров. Вывод: множества натуральных чисел и положительных рациональных равномощны. Так, может быть, вообще все бесконечные множества равномощны? Нет. Например, элементы множества всех действительных чисел занумеровать нельзя. Математик в этом случае сказал бы, что множество действительных чисел имеет мощность, большую множества натуральных. Доказательство этого факта вы можете прочесть в интересной книге Н. Виленкина «Рассказы о множествах». Теперь самое время вспомнить о проблеме, которую решил американский ученый Коэн. Она формулировалась так: «Существует ли множество, имеющее мощность меньшую, чем множество действительных чисел, но большую, чем множество натуральных?» Над ней билось немало ученых в течение ряда лет. И решение было для всех неожиданным. На сформулированный вопрос ожидали ответа либо «да», либо «нет». Ответ же был получен: «И да и нет». «Как это понимать?» — спросите вы. А вот как: существование такого множества нельзя ни доказать, ни опровергнуть. Выбирайте на свой вкус! ОДИН ПРОФАН СПРОСИЛ... и ОЗАДАЧИЛ МУДРЕЦА! нам тепло в натопленной комнате? жареное вкуснее вареного? IIPRfll по льду ходят мелкими шагами? П ПЛ V1 неб° синее? I \ IImIVI J ■ у кошки в темноте глаза светятся? волосы вьются? 17 |
