Юный техник 1967-04, страница 21

ф Капиллярная трубка имеет отверстие диаметром 1 мм, а на конце — 2-сантиметровый участок диаметром 2 мм (см. рис.). Какое максимальное количество воды удержится в трубке за счет сил поверхностного натяжения, если стенки ее полностью смачиваются?

ф Исключите иррациональность в знаменателе следующего выражения:

_1_

3 _ 3 _ *

1 + ^2+2/4 ф Докажите, что число, обратное вещественному корню уравнения х³—х+1 =0, удовлетворяет уравнению х⁵+х+1— 0. ф Решите систему уравнений:

2xj — х₂ = 1

— х_х + 2х₂ — х₃ = 1

— х₂ + 2х₃ — х₄ = 1

— х₃н-2х₄ — х_б=1

— х₄Н-2х₅--х₆=1

— х₅ -f 2х₆ == 1

Л Дан выпуклый четырехугольник ABCD. На сторонах ВС и AD взяты точки М и N так, что соблюдается отношение: BM:MC=AN:ND=AB:CD. Докажите, что прямая MN образует равные углы с прямыми АВ и CD.

А На стороне АС треугольника ABC взята точка М, а на стороне ВС — точка N. Найти, в каком отношении делятся отрезки AN и ВМ точкой их пересечения, если

CN СМ

— = n; — = т. BN ВМ

ф Найти геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению: |х — У + S|-f- |х + у — 5| = 6.

ф Решите систему уравнений и исследуйте решение в зависимости от параметров a, b и с.

_Х2= а + (у — z)2 у2 = b + (z — х)2 _Z2 = с + (х — у)²

а

• Докажите, что если — — иррациональное число, то уравнение sinax • singx = 1 не имеет корней.

А Сколько носильщиков (наименьшее число!) должен взять с собой исследователь, отправляющийся в бесплодную пустыню, если известно: поход продлится 6 дней и каждый носильщик (в том числе и сам исследователь) может нести лишь четырехдневный запас пищи и воды на одного человека?

Д В Москве живут четверо ребят: Андрей, Борис, баня и Гриша. А в Ленинграде — четыре девушки: Даша, Елена, Женя и Зоя. В канун праздника каждый из них послал по одному поздравлению и получил в ответ тоже одно письмо. Причем никто не получил письма от того, кому посылал поздравление. Разгадайте, кто поздравил Андрея, если известно: Андрей поздравил девушку, которая написала письмо москвичу, приславшему поздравление Даше; Елену поздравил москвич, получивший письмо от ленинградской девушки, которая, в свою очередь, получила поздравление от Бориса; Ваня поздравил девушку, написавшую письмо Грише, причем этой девушкой была не Даша; Женя не поздравляла Бориса, а молодой человек, получивший письмо от Зои, не поздравлял Женю?