Техника - молодёжи 1962-12, страница 19

истоки

НАУК

верного себе, имени прилагательного. Большинство прилагательных не обладает качеством, которое оно обозначает. Скажем, слово «красный» само по себе не имеет красного цвета, слово «ароматный» не пахнет. Зато прилагательное «русский» — действительно

Правда, у читателя может возникнуть вопрос: кому нужна вся эта казуистика? Да и нужна ли она вообще?

ЗАНЯТНЫЕ ТРЮКИ ИЛИ ТРЕВОЖНЫЕ

СИМПТОМЫ I

П риведенные смысловые нелепости — не просто забавные трюки логики. Не раз парадоксы были связаны с перестройкой основ мышления.

...Как грациозен и быстроног могучий Ахиллес, герой Троянской эпопеи, воспетый Гомером! И как неуклюжа и тихоходна черепаха, повсюду слывущая эталоном медлительности и нерасторопности! Ей ли тягаться в скорости с легендарным бегуном? А вот античный мудрец Зенон считал, что Ахиллесу ни за что не догнать черепаху. Убеждение философа основывалось на том, что.

относятся так называемые ложные парадоксы. На первый взгляд они таят в себе неожиданность, но это всего лишь ложная тревога. Примером может служить парадокс Зенона, который, как мы выше показали, легко опрокидывается современными средствами теории рядов.

Гораздо сложнее обстоит дело с парадоксами второго класса. Здесь уже

/

Рис. Р. МУСИХИНОИ

русское, «многосложный» — многосложно, «абстрактный» — абстрактно и т. д. Каждое из этих прилагательных, по терминологии Греллинга, автологично, то есть имеет силу применительно к самому себе, обладая тем же качеством, которым оно наделяет другие понятия. Иное дело гетеропогичиые, то есть неверные себе, прилагательные. Скажем, «односложный» — само по себе вовсе не односложно, «бесконечный» имеет конечные размеры, «конкретный» — по смыслу абстрактно.

Парадокс Греллинга возникает из вопроса: к какому классу отнести прилагательное «гетерологичный»? Верно оно себе или неверно? Допустим, что прилагательное «гетерологичный» гетероло-гично. Тогда оно (согласно приведенному определению Греллинга) верно себе. А раз оно верно себе, то оно... автологично! На каком же основании оно названо нами гетерологичным?

Наука, занимающаяся толкованием смысла слов и выражений, называется семантикой.

Вот еще один типичный семантический сюрприз. Рассмотрим выражение «наименьшее натуральное число, которое нельзя назвать посредством меньше чем тридцати трех слогов». Между тем только что написанное выражение при помощи тридцати двух слогов (посчитайте сами!) называет не что иное, как число, которое, по определению, нельзя назвать посредством менее чем тридцати трех слогов!

Подобными несуразицами изобилует история логики. Читатель может испробовать свои силы, пытаясь выбраться из перечисленных смысловых лабиринтов. (За половину столетия с тех пор, как возникла эта проблема, не было найдено ни одного решения, с которым бы согласились ученые).

когда преследующий достигнет места, где находился преследуемый в момент старта, догоняемый бегун продвинется, хотя и немного, дальше. Значит, на новом небольшом участочке пути Ахиллесу снова придется догонять черепаху. Но пока преследователь добежит до этого второго пункта, беглянка снова переместится вперед. И так далее до бесконечности. Если же это будет длиться без конца и края, то как Ахиллесу удастся обогнать черепаху?

С другой стороны, из собственного повседневного опыта каждый школьник знает, что он, отнюдь не будучи Ахиллесом, способен запросто обогнать не только черепаху, но, чего доброго, и самого учителя — стоит только прозвучать звонку, возвещающему конец урока. В чем же «ахиллесова пята» рассуждений Зенона? '

Сегодня нам ничего не стоит с самодовольством эрудитов, впитавших наследие 25 веков, отделяющих нас от Зенона, обнаружить заблуждение античного мыслителя. Два с половиной тысячелетия назад бытовало наивное представление, будто бесконечный ряд интервалов должен неограниченно возрастать. Нынешние теории сходящихся рядов, в которых бесконечное число постепенно уменьшающихся отрезков суммируется в конечную величину, далеко ушли от мыслительной схемы античных цивилизаций, окончательно развенчав загадку Зенона как ложный парадокс. А как быть с подлинными парадоксами? Не являются ли они пробным камнем несостоятельности нашей мыслительной схемы?

ПАРАДОКСЫ ОБЕЗОРУЖИВАЮТ

МЕТОДЫ

С точки зрения неприступности, парадоксы можно разбить на три класса. К первому классу

речь идет о настоящих, неподдельных парадоксах. Взять, к примеру, парадокс Эпименида. Его не так-то просто одолеть тривиальными логическими приемами, хотя и в нем есть лазейки для того, чтобы свести на нет его парадоксальность. Это делается следующим образом. Будем различать два рода лжецов. Лжецы первого рода иногда говорят и правду. Лжецы второго рода всегда обманывают. Будем понимать высказывание Эпименида в том смысле, что все критяне являются лжецами второго рода- Допустим, что высказывание истинно. В силу его смысла и того факта, что Эпименид — критянин, оно неумолимо должно быть ложным. Получилось противоречие. А мы знаем, что если в процессе доказательства математической теоремы приходят к явной несуразице, то исходная посылка считается ложной (вспомните знакомый всем со школьной скамьи метод доказательства, называемый «reductio ad absurdum» — «приведением к нелепо