Техника - молодёжи 1962-12, страница 20

сти»). Вот почему, базируясь на проверенном тысячелетней практикой методе, мы можем смело констатировать, что утверждение «все критяне — лжецы» ложно. Из ложности высказывания вытекает, что существовал или будет существовать некий критянин, который время от времени говорит правду. Если бы это высказывание было единственным, которое когда-либо произносил хоть один критянин, мы получили бы подлинный парадокс Но в том-то и дело, что парадокса можно избежать, допустив, что существовал критянин, который иногда все-теки не кривил душой.

Итак, нам все же удается, правда с грехом пополам, обезвредить парадоксы второго классе путем натяжек, ограничений, дополнительных определений. Зато в более сильном — Эвбу-лидовом — варианте «парадоксе лжеца» традиционный прием «reductio ad absurdum» капитулирует безоговорочно. Здесь налицо несократимая, неуничтожимая сущность перадокса: предложение Эвбулида верно тогда и только тогда, когда оно ложно. Это один из парадоксов третьего класса — так называемых антиномий. Антиномии преподносят нам сюрпризы, которые не устранить иначе, как отречением от части нашего мыслительного наследия. Либо принятый на веру шаблон мышления должен быть пересмотрен и усовершенствован, либо от него придется вовсе отказаться.

Именно к такому неутешительному выводу пришел в один прекрасный день немецкий математик Готлиб Фре-ге, который считается основателем математической логики.

ПРОДЕЛКИ НОВОЯВЛЕННОГО

ФИГАРО

Фреге думал, что в своих «Основных законах ерифметики» он закрепил принципы математики во внутренне непротиворечивых законах логики. Когда второй том его труда готовился к печати, автор получил скромное письмо от английского ученого Бертрана Рассела с изложением его антиномии. «Арифметика гибнет», — в отчаянии написал Фреге в своем ответе. Приложение ко второму тому «Основных законов арифметики» Фреге начал словами: «Ученый едва ли может столкнуться с чем-либо более неприятным, чем испытать полный крах в тот момент, когда работа уже завершена».

Чье же предерзостное посягательство потрясло столпы, на которых зиждется стройное здание математики? Оказывается, причиной катастрофы был на первый взгляд невинный перадокс деревенского брадобрея.

На сельской парикмахерской вывешено необычное объявление: «Здесь бреют тех и только тех, кто не бреется сам». Спрашивается, имеет ли цирюльник право брить самого себя? Ведь как только хозяин цирюльни становится одновременно своим же клиентом, он тут же впадает в противоречие с собственным объявлением! Парадоксальность ситуации устраняется лишь путем своеобразного самоубийства: мы вынуждены постулировать, что такого парикмахера вообще не может существовать. Но ведь это не что иное, как совершенно искусственное допущение, к ко

торому мы прибегаем только потому, что нам так удобно!

Как видно, а отличие от своего се-вильского коллеги из бессмертной трилогии Бомарше, «Фигеро» лорде Рассела занялся «интригами» на более высоком уровне — в области логики и математики. Если парадоксы Греллинга, Эпименида и им подобные поражали семантику истины, то расселовскея антиномия больно «бьет» по математике множеств.

Конечно, теоретико-множественная интерпретация антиномии Рассела глубже и сложнее приведенного толкования. Здесь можно лишь сказать, что как парадокс парикмахера (популярная версия расселовской антиномии) показывает, что такого цирюльника не должно быть вообще, так расселовская антиномия налагает запрет иа существование множества, которое являлось бы частый самого себя.

К этой антиномии сводится и знаменитая теорема-перадокс Георга Кантора: для любого, даже бесконечно большого, клесса существует больший класс. Но если для каждого класса имеется больший класс, то что же будет с классом, содержещим все?

Для сравнения представьте себе, скажем, библиотекаря конгресса, составляющего для библиотеки конгресса библиографию всех тех библиографий, имеющихся в библиотеке конгресса, которые не перечисляют самих себя.

Таким образом, центральной проблемой при закладке фундамента общей теории множеств является обезвреживание антиномии Рассела и ее «свиты». Главными героями или, если угодно, элодеями нынешней драмы, переживаемой математической логикой, оказываются антиномии. Другие — ложные ли, истинные ли — парадоксы бледнеют в сравнении с ними, хотя на их совести тоже немало кризисов в истории математики.

ПАРАДОКСЫ РОЖДАЮТ НОВУЮ

НАУКУ

И все же среди истинных парадоксов нового времени есть один, который, не будучи антиномией, все же сравним с антиномиями характером построения,

необычностью результата и способностью вызвать кризис.

Речь идет о теореме немецкого математика Курта Геделя.

В 1931 году Гедель показал, что любая дедуктивная, то есть идущая от общих посылок к частным выводам, система никакими произвольными аксиомами не способна охватить среди своих теорем все правила элементарной арифметики положительных целых чисел без того, чтобы не дискредитировать себя, допуская просачивание некоторых ложных положений.

Гедель показал, что для любой заданной дедуктивной системы он может построить предложение элементарной теории чисел, которое будет верным тогда и только тогда, когда оно будет недоказуемым в этой системе. Каждая такая система является, таким образом, либо неполной, в которой подходящего доказательства найти невозможно, либо несостоятельной, в которой доказывается ложь.

Итак, не может быть никакой естественной и всеобъемлющей дедуктивной систематизации, хотя это и противоречит сущности логических методов.

Результат Геделя положил начало направлению в математике, которое за 30 лет выросло в самостоятельную и важную область. Математическая теория, непротиворечивость которой пытаются обосновать, стала предметом изучения некоторой надматематической науки, названной метаматематикой, или теорией доказательств. Какова природа математической истины? Какой смысл имеют математические предложения: аксиомы, леммы, теоремы? На каких посылках они основаны? Так проблема разрешения парадоксов стала более широкой проблемой обоснования математики и логики.

С проблемой парадоксов тесно связано и становление математической логики. Эта наука разработала специальный математический аппарат, с помощью которого любую логическую задачу можно представить в виде формул и уравнений. А это очень важно. На примере семантических курьезов мы уже убедились в том, какими сюрпризами чревато использование слов нашего «повседневного лексикона в определениях и логических умозаключениях. Избежать ненужных смысловых нюансов и терминологических разночтений помогает экономный и строгий язык математической символики. Такая формализация свела самые громоздкие и запутанные логические построения к простым арифметическим операциям. А без этого, как известно, просто немыслимо программирование современных вычислительных устройств, способных решать сложнейшие логические задачи.

Логические парадоксы оставили неизгладимый след в истории науки. Они заставили подвергнуть ревизии каноны нашего мышления и усовершенствовать арсенал математических средств. Правда, пока что парадоксы, подобные антиномии Рассела, продолжают с невозмутимостью сфинкса взирать на тщетные ухищрения математиков. Но науке не стоит не месте. Не исключено, что потомки будут с улыбкой вспоминать наши логические затруднения. Эта улыбка будет, вероятно, похожа на ту, с которой мы сегодня лихо расправляемся с парадоксом Зенона.

16