Техника - молодёжи 1965-05, страница 43

РИСУЕТ МАТЕМАТИКА

Ссылающийся английский физик Уиль-™ ям Томсон на вопрос, кого можно назвать математиком, ответил, взяв в руки карандаш:

— Математик тот, для кого справедливость равенства

+СО

J e-^x'dx = ут

~оо

столь же очевидна, как дважды два — четыре.

Это интеграл Эйлера — Пуассона. Он подсчитывает площадь, ограниченную бесконечно длинной симметричной кривой и осью абсцисс. Казалось бы, если фигура не имеет конца и края, площадь ее тоже должна быть бесконечно большой. Но нет.У^— величина конечная! И тоже удивительная. Ее невозможно точно вычислить и записать цифрами: знаки в ней не чередуются, а их количество бесконечно велико. Недаром наше число относится к разряду «иррациональных». Подобные математические абстракции гораздо легче постигнуть, если прибегнуть к графическому изображению.

Встречаются люди, которые обладают удивительными способностями: могут с исключительной точностью представлять себе, как будет графически выглядеть та или иная функция. Например, французский математик Морис Эль Ми-лик сразу сделал рисунок, геометрически

отображающий сложную зависимость. Обычно, чтобы добиться той точности, с какой функция показана на снимке, нужно предварительно потратить много времени на громоздкие вычисления.

Каждое математическое уравнение имеет графическое изображение. Но перед нами нечто большее, чем просто замена аналитического подхода графическим. Присмотритесь: в этих резких изломах и плавных извивах линий, динамичных разбегах спиралей и чарующей симметрии многоугольников есть своя поэзия, своя гармония, не правда ли? А ведь эта гармония точно поверена алгеброй! Настанет день, когда математика сумеет точными формулами описать и такую расплывчатую эстетическую категорию, как красота — архитектуры ли, пейзажа ли, человеческого ли тела.

Некоторые из данных на вкладке графиков, часто не только замысловатых, но и красивых, изящных, почти осязаемых, потребовали бы не менее 25 страниц сложнейших вычислений.

1. Винт с возрастающим шагом, изображенный в трех измерениях.

2. Если взглянуть иа эту величественную башню сверху, то контуры ее уступов составят семейства трех основных кривых и проиллюстрируют их взаимосвязь. Самые нижние уступы образуют семейство гипербол. Гиперболы постепенно переходят в параболы, а те — в эл

липсы. Эллипсы образуют бесконечное число ступеней и завершаются кругом. Интересно, что эллипс, парабола и гипербола, несмотря на все различие описывающих их формул и графических изображений, дети одних родителей — конуса и секущей его плоскости.

3. Мраморная фигура, покоящаяся на черном шаре, описывается многими уравнениями. Она дает наглядное изображение поверхности Мёбиуса, которая замечательна тем, что имеет только одну сторону.

4. Логарифмическая спираль. Ее радиус-вектор возрастает в геометрической прогрессии.

5. Такую кардиодную (сердцевидную) форму может нарисовать каждый. Начертите круг (обведенный на рисунке пунктиром). На окружности отметьте точки, отстоящие друг от друга на равном расстоянии. Из этих центров проведите окружности так, чтобы каждая из них проходила через одну и ту же точку окружности, обведенной пунктиром. Пространство между кривыми зачеркните.

6. Изящное кружево кажется состоящим из кругов. Но это оптический обман. Концентрические «круги» на рисунке созданы пересекающимися прямыми. Они иллюстрируют принцип линейной геометрии; кривую можно образовать из соединений прямых линий. Чтобы получить такой рисунок, нужно провести все диагонали двадцатичетырех-угольника. На окружности нанесены два-

Дцат ь четыре точки, каждая из которых соединена с остальными точками прямыми линиями.

Попробуйте соединить углы тридцати-двух- и тридцатишестиугольников. Какой рисунок у вас получится?

7. С помощью шахматной доски можно продемонстрировать математическое понятие инверсии. Поясним это сначала на примере круга. В круг, оказывается, можно включить все точки, находящиеся вне его. Для этого берется точка вне круга и измеряется ее расстояние по прямой до его центра. Затем оно делится на радиус круга. Допустим, что расстояние по прямой от центра до намеченной точки равно 15 см, а длина радиуса — 3 см, тогда при делении получится число 5. Внутри круга на радиусе в 3 см отмечается точка, отстоящая от центра на ¹/в длины радиуса. Подобным же образом «переносят внутрь» и другие точки. Если брать все более удаленные точки, то их инвертированные изображения будут устремляться к центру круга, но никогда его не достигнут.

Рисунок внутри круга в центре шахматной доски представляет инвертированное изображение поля доски вне круга. Точки, находящиеся вне доски, могут быть размещены в пустой центральной части круга. Номера показывают соотношение между некоторыми клетками шахматной доски и их инвентирован-ными «изображениями».

8. В исследованиях по электронике не всегда прибегают к статичным графикам. Подвижные геометрические отображения можно наблюдать на экране осциллографа. Здесь, словно живые, беспре-оывно выписываются красивые фигуры. Их рисует электронным лучом математика,

В. ПЕКЕЛИС

Ответ на задачу „НЕПОБИВАЕМЫЙ РЕКОРД" (см. № 4, 1965)

Прежде всего необходимо нейтрализовать центробежную силу Но как это сделать? Нужно продольную ось ракеты повернуть в плоскости орбиты таким образом, чтобы одна из составляющих реактивной силы была направлена к центру Земли (см. схему)). Если принять такую схему полета, то при наличии достаточно мощного двигателя и при перегрузке К == Ю человек в космическом корабле сможет облететь Землю за 25 мин. Почему так получается?

При условии сохранения круговой орбиты на высоте Н зависимость между скоростью космического корабля V и величиной перегрузки К определяется из следующих уравнений:

S mv2

1) t=— ;2)F = — ;3)F-P + G;

4) P=G.K; 5) G=m.g; 6) S-2*(R+H).

Отсюда:

v i/- ♦ 2tc(R + H)

^V = VgR(l +K) и t =-

или:

2*(R + H)

~VgroTK)'

где: R — радиус Земли,

H — высота круговой орбиты космического корабля, t —время облета Земли на космическом корабле, F — центробежная сила, "G — вес космического корабля, m — масса корабля, Р — сила тяги двигателя, К — перегрузка, создаваемая силой

тяги двигателя, g —ускорение силы тяжести, V — скорость корабля.

При R « 6400 км, Н = 200 км, К ===== 10 получим: V « 27 км/сек, a t « 25 мин Ракета же без человека, способная выдержать значительно более высокие перегрузки, например, К = 1000, обойдет вокруг нашей планеты за 2,67 мин.

А как думаете вы?

На схеме: I. Положение космического корабля вначале разгона по орбите — после свободного полета с первой космической скоростью. II. Промежуточный момент разгона. III. Конечный момент разгона: корабль развил максимальную скорость, сила тяги двигателя направлена к центру Земли и уравновешивает центробежную силу

В. МИХАЛЕВ, инженер, член литобъединення журнала