Техника - молодёжи 1979-10, страница 27

нальность. Вот уже 300 лет пользуются равномерно темперированным строем, который был создан И.-С. Бахом. Математически равномерная темперация означает, что логарифм частоты звука есть линейная функция координаты ноты в звукоряде, причем в каждой октаве частота удваивается. Иначе говоря, отношение

двух последующих частот f_K_j и f_R

можно записать таким образом:

_f иг-

-trV²'

Отсюда видно, что последовательность частот в равномерно темперированном звукоряде — геометрическая прогрессия, то есть

f„

fj.2¹²

Как видим, исторически сложившаяся дискретизация такого строя близка к технически рациональной. В современных условиях решение задачи о выборе рациональной дискретизации физических величин по уровню становится особенно важным в связи с широким развитием информационных систем и вычислительных машин.

Отметим еще одну общую закономерность искусства и техники. У Поля Верлена есть строки:

Недавно колокольный звон

Пронесся звуковой спиралью.

Оказывается, это не просто художественный образ. Нетрудно показать, что распределение частот равномерно темперированного строя, описываемое геометрической прогрессией, удовлетворяет уравнению логарифмической спирали.

И в технике многие устройства, например, режущие инструменты или каналы, подводящие воду к лопастям турбин, используют свойство этой спирали пересекать свои радиусы-векторы под постоянным углом.

Очень часто спираль встречается и в природе. Домик улитки, расположение семянок в головке подсолнуха или листьев на побегах вьющихся растений соответствуют логарифмической спирали. Здесь можно отметить еще одну важную закономерность: последовательности дробей, которыми в ботанике описывается спиральное расположение семян подсолнуха или чешуек шишек, состоят из так называемых чисел Фибоначчи.

Кто же такой был Фибоначчи и какой смысл заложен в его числах?

Жил в итальянском городе Пизе математик Леонардо, по прозванию Фибоначчи, что значит «сын добродушного». Путешествуя по Востоку, он познакомился с достижениями арабской математики. В 1202 году Фибоначчи опубликовал большой труд — с<Книгу о счете», а в 1220 году— «Практику геометрии». Эти ра

боты, впервые содержавшие задачи на применение алгебры в геометрии, ' познакомили европейцев с арабскими цифрами и оказали немалое влияние на развитие математики.

В «Книге о счете», решая среди прочих задачу о том, «сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается», Леонардо получил в результате последовательность чисел: 1. 2, 3, 5, 8, 13, 21. 34... которые позже и стали называть числами Фибоначчи. Каждое из них получается путем сложения двух предыдущих.

Эти числа применяются не только в ботанике и животноводстве, но и в вычислительной математике. Если использовать лишь первые члены ряда Фибоначчи в оптимальном программировании (при поиске экстремума), то точность повышается более чем на 20%, а выбор расчетных точек в соответствии со сравнительно небольшим количеством первых чисел Фибоначчи позволяет получить экспоненциальное увеличение точности.

Из приведенных биологических примеров видно, что числа Фибоначчи достаточно хорошо отражают объективные закономерности. Можно привести множество примеров и из других областей, в которых первые члены ряда Фибоначчи играют важную роль.

Любопытно хотя бы отметить, что интервалы, определяющие основные мажорные и минорные тонические трезвучия, соответствуют числам Фибоначчи 1, 3, 5 или 1, 5, 8.

Анализ пропорций выдающихся памятников архитектуры также показал, что их основные размеры находятся между собой в отношениях, или точно соответствующих, или очень близких числам Фибоначчи. Такова, например, прославленная церковь Покрова на Нерли. Изучение размеров других выдающихся сооружений выявило, что их пропорции соответствуют предельному отношению чисел Фибоначчи Ф~ 1,618, так называемому золотому сечению, которое впервые упоминается в III веке до н. э. в «Началах» Евклида.

К его удивительным свойствам, описанным в «ТМ» (1978, № 5), можно добавить, что прогрессия вида 1, ф, ф² ... фп является не только геометрической, но и арифметической. Кроме этого, подобно ряду Фибоначчи, каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих членов ряда.

Идея золотого сечения широко использовалась в живописи и античной архитектуре, которые, кстати, не единственные области, где наблюдается такой принцип пропорционального деления интервала. В результате изучения музыкальных произведений выяснилось, что кульми

нация мелодии тоже часто приходится на точку золотого сечения ее общей продолжительности. Не обошла золотая пропорция и биологию. На* пример, профиль большинства птичьих яиц соответствует золотому соотношению.

Рис. 1. На рисунке А. Дюрера «Изучение пропорции» хорошо видно: размеры тела человека (за единицу измерения выбрана голова) относятся как 1:2:3:5:8 и составляют ряд Фибоначчи.

Размеры головы ГЧ обозначим Г. Тогда плечи 2Г, размах рук

ЛЛ1 = 8Г, грудь ШО = 2Г, бедро БК = 2Г, голень КН = 2Г, пояс -г колени ОК = ЗГ, пояс — щиколотки ОН = 5Г, макушка — ступня ГС — = 8Т, размах руки ШЛ *= ЗГ.

Рис. 2. Листья на стебле располагаются по спирали так, чтобы, не мешая друг другу, воспринимать солнечный свет. Сумма двух предыдущих шагов спирали, начиная с вершины, равна величине последующего шага, т. е. А + В ^ С, В + С = Д и т. д.

Рис. 3. «Как мера и красота укажут...» Этой формулой руководствовались зодчие, возводя храм Покрова на Нерли. Оказалось, что размеры его относятся примерно как 2:3:5:8, т. е. совпадают с числами Фибоначчи, а высота храма и его длина составляет золотую пропорцию.

Ба < 1