Техника - молодёжи 1968-02, страница 26

НАУЧНЫЙ 0Б30Р1

if

МАТЕМАТИКА

СРАЖЕНЬЯ

1С

В журнале вводится новый раздел «Научное обозрение». Его ведет наш научный обозреватель, кандидат физико-математических наук П. МИЦКЕВИЧ, широко известный нашим читателям как писатель-фантаст Днепров.

Сегодня мы публикуем его первый обзор, посвященный основной теме номера.

ЧТО ТАКОЕ ТЕОРИЯ ИГР И КАК ОНА ПРИМЕНЯЕТСЯ В ВОЕННОМ ДЕЛЕ

Представим, что по стадиону гоняется за беззащитным человеком сидящий за рулем автомобиля сумасшедший шофер. Скорость автомобиля постоянная, но для него недопустимы повороты меньше определенного радиуса. Предполагаемая жертва может менять скорость и совершать любые маневры. Спрашивается в задаче, какова наилучшая стратегия «шофера-преследователя», для того чтобы выполнить свой черный замысел, и каково наилучшее поведение преследуемого?

Может показаться, что эта страшная картина не имеет никакого отношения к точному математическому анализу, а если и имеет, то вряд ли шофер и преследуемый во время дикой погони будут в уме решать дифференциальные уравнения. И тем не менее приведенная задача — типичная для математической теории игр, новой отрасли математики, возникшей немногим более четверти века тому назад. *

Если задача о «шофере-преследователе» явно придуманная, то реальность ее военного варианта вряд ли вызовет сомнение.

Автомобиль можно заменить самолетом-перехватчиком, а преследуемого — бомбардировщиком, и тогда картина воздушного боя и ее математический расчет будут аналогичными.

Теорию игр было бы более правильно назвать математической теорией конфликтных ситуаций, несколько расширив представление о конфликтах. Это может быть не только военный конфликт, но и чисто «игровой» (например, при игре в шахматы или шашки), конфликт «столкновения интересов» (например, на рынке между торговцам - и покупателями), политический конфликт (например, между враждующими политическими партиями в период предвыборной кампании). В математической теории игр такое обобщение допустимо.

Однако в ряде случаев можно создать упрощенную модель конфликта и использовать ее для приближенного анализа реально разворачивающихся военных действий. Упрощенными моделями военных операций являются топографические карты и «ящики с песком», на которых разыгрываются действия подразделений и родов войск, па таких моделях слушатели военных академий учатся военной логике, предполагая при этом, что воображаемый противник не дурак и что он тоже будет выбирать наилучшую стратегию.

Математическая теория военных конфликтов рассматривает их как игры. Несколько легкомысленный термин введен вовсе не для того, чтобы преуменьшить серьезность рассматриваемых задач, а чтобы подчеркнуть, что в математическом анализе изучаются лишь упрощенные модели.

С основными идеями теории игры можно лучше всего познакомиться на примерах*.

Два игрока А и Б независимо друг от друга пишут на бумажках одно из чисел: 0, 1, 2. Затем они показывают бумажки друг другу и складывают написанные числа. Если сумма четная, Б уплачивает А число рублей, равное сумме. Если сумма нечетная, А платит ее Б. Написание чисел и предъявление их друг другу называется ходом игры (подобно ходу фигуры в шахматах). Сознательный выбор системы последовательных доходов называется стратегией. Анализ игры, который мы сейчас проведем, должен завершиться разумной стратегией как для А, так и для Б.

Результаты всех возможных ходов можно заранее перечислить: А пишет «О», Б тоже «О». Сумма равна нулю, и никто из игроков ничего не получает («ничья»).

А пишет «О», Б пишет «1». Сумма равна 1, число нечетное, А проигрывает, а Б выигрывает один рубль. А снова пишет «О», а Б — «2». Сумма — число четное, и выигрывает ее А

* Большинство примеров взято из книги Е. С. Вентцеля «Элементы теории игр»,

(Б проигрывает). Таким образом, нетрудно подсчитать, что число возможных комбинации, из которых независимо друг от друга могут выбрать А и Б, будет 3X3=9.

Обозначим «стратегию» А писать только «О» через А_ь писать только «1» через А₂, писать только «2» через А₃. Аналогичные обозначения мы примем и для стратегий игрока Б. Все возможные выигрыши А (проигрыши —- это «выигрыш» со знаком минус) можно изобразить таблицей:

Таблица, в которой выписаны выигрыши (проигрыши) противников в результате применения всех возможных ходов, называется платежной матрицей, а сама игра — матричной игрой.

Анализ платежной матрицы поучительный. Выбирая ка-кую-нибудь стратегию игры, А должен рассчитывать, что противник достаточно умный, и применить такую стратегию, чтобы сделать его выигрыш наименьшим. Справа от платежной матрицы выписаны наименьшие выигрыши (наибольшие проигрыши) А при всех его стратегиях. Игрок А должен из всех минимально возможных выигрышей выбрать ту стратегию, которая обеспечивает ему максимальный выигрыш (минимальный проигрыш). Такой стратегией для него является Ai — всегда писать ноль. Систематически применяя эту стратегию, он обеспечивает себе выигрыш не менее — 1, то есть проиграет не более одного рубля.

Рассуждая аналогично за Б, мы должны установить, при какой из всех его возможных стратегий он меньше всего проиграет А. Для ггого нужно просмотреть платежную матрицу по столбцам и найти наименьшую сумму, которую может выиграть А (эти суммы выписаны под матрицей).

Очевидно, таким выигрышем для А будет 2 рубля, если Б будет систематически применять либо стратегию Bi (писать ноль), либо стратегию Б_а (писать единицу).

Если А, как и Б» -применяет стратегию «писать только нули», то игра перестает быть интересной. Это ничья.

Наибольшее из всех наименьших чисел платежной матрицы называется максимином (максимум минимума), а наименьшее из наибольших чисел платежной матрицы мини-максом (минимум максимума). Эти числа называют соответственной нижней и верхней ценой игры.

Стратегию, которая обеспечивает нижнюю и верхнюю цену игры, называют соответственно максиминной и минимаксной.

Что случится, если какой-либо из игроков уклонится от наиболее осторожной стратегии? Например, игрок А, посмотрев матрицу, захочет выиграть 4 рубля, в надежде, что игрок Б применит статегию Б₈. Заметив это, Б применит свою вторую стратегию (будет писать только единицу), и тогда А начнет систематически проигрывать по 3 рубля!

22