Техника - молодёжи 1968-02, страница 27

Аналогично, если Б пожелает выиграть наибольшую из возможных для себя ставку — 3 рубля, то, разгадав его стратегию (писать только двойки), А начнет писать тоже двойки и выигрывать по 4 рубля!

Хотя для А стратегия «писать только нули» и обеспечивает ему минимальный проигрыш, вряд ли он согласится только проигрывать! Очевидно, игроки время от времени будут менять свои стратегии, и тогда игра будет со смешанной стратегией.

Теория матричных игр позволяет вычислить, как должны применяться различные стратегии А и Б, чтобы обеспечить сторонам самый наилучший исход игры.

Оказывается, в рассмотренном примере оптимальные смешанные стратегии первого и второго игроков должны быть одинаковы: они должны в половине случаев (то есть с вероятностью 0,5) применять вторую стратегию (писать единицы), а «первую и четвертую применять с вероятностью 0,25. Интересно, что при этом средний выигрыш каждого играющего будет стремиться к нулю, и в пределе — ничья.

Теперь можно, разобрать простую военную задачу.

Пусть А («синие») имеет в своем распоряжении три вида противовоздушного оружия: Аь Аз и А₃. У противника Б («желтые») имеется три вида самолетов, которые систематически совершают налеты на объекты «синих». Из данных испытаний известно, что, применяя оружие Аь «синие» будут сбивать 0,9 всех самолетов типа Bi, 0,4 всех самолетов типа Бз и 0,2 самолетов типа Бз

Если «синие» будут применять вооружение типа А_а, то потери «желтых» в самолетах пусть будут 0,3, 0,6 и 0,8. Оружие типа А₃ сбивает самолеты противника с вероятностями соответственно 0,5, 0,7 и 0,2.

Платежная матрица этой игры может быть записана так:

Вг В₃ В₃ Минимум

А_г 0,9 0,4 0,2 0,2

А₃ 0,3 0,6 0,8 0,3

А₈ 0,5 0,7 0,2 0,2

ш1п»шахВ 0,9 =-0,7 0,7

Максиминная стратегия «синих» будет заключаться в том, чтобы всегда применять оружие Аз, которое обеспечит уничтожение самолетов «желтых» не менее чем в 0,3 всех случаев. Наиболее осторожная стратегия «желтых» — применять для налетов самолет Вз, который будет сбиваться не более чем в 0,7 всех случаев.

Однако, как и в предыдущей задаче, такие решения враждующих сторон не являются наилучшими. Очень скоро разведка узнает о том, каким оружием пользуются «синие», а «синие» разгадают стратегию «желтых». Типы самолетов и типы противовоздушного оружия нужно систематически ме

нять, и расчеты по теории смешанной стратегии показывают, что частоты применения самолетов типа Бь Бг и Б₃ в оптимальном случае должны соответственно равняться 9/26, 12/26 и 5/26. Значит, «желтые» будут иметь игру с ценой немногим более 50% (0,534).

Оптимальная стратегия «синих» будет заключаться в применении трех типов оружия с вероятностями 19/52, 29/52 и 4/52. При этом «синие» могут быть уверены, что они собьют не менее 0,534 всех самолетов.

Анализ выявляет малоэффективные виды военной техники, которую в описанной боевой операции нужно применять реже всего. Для «синих» малоэффективным является вооружение Аз, для «желтых» — самолеты Б₃.

Может показаться странным, что цена игры для «синих» и «желтых» оказалась одинаковой, хотя их стратегии совершенно различны. Этот результат не случайный. Он следует из основной теоремы теории игр: каждая конечная (с конечным числом стратегий) игра имеет по крайней мере одно решение (возможно в области смешанных стратегий).

Матричные игры, для которых может быть составлена платежная матрица, — не единственный вид военных игр, поддающихся математическому анализу. Более важными для анализа являются такие военные модели, где учитывается взаимодействие родов войск. В этом случае можно написать математические уравнения, которые позволяют рассчитать оптимальную стратегию главных и поддерживающих сил соревнующихся противников. Идея разделения войск на «главные» силы и «поддерживающие» понятна из высказывания известного немецкого военного теоретика прошлого столетия Карла Клаузевица: «Армия, состоящая только из артиллерии, является абсурдом с военной точки зрения... Армия, Состоящая только из пехоты, не только возможна, но и много сильнее». И далее: «Сочетание различного оружия в войне приводит к более совершенному использованию сил».

Взаимодействие главных и поддерживающих сил изображено на схеме. Буквы Xi и Х_г - главные силы (пехота), которые вступают в единоборство. Поддерживающие силы Х₃ и Х₄ (дальнобойная артиллерия, авиация) находятся за пределами досягаемости пехоты, но они могут наносить удары не только по пехоте противника, но и друг по другу,

■Предполагается, что потери в каждом роде войск растут со скоростью, пропорциональной Численности родов войск противной стороны, и тем быстрее, чем больше огневая мощь противника. Игра считается законченной, если главные силы одной из сторон полностью уничтожены, то есть либо Хь либо Хг становятся равными нулю.

В эту модель можно ввести расстояния поддерживающих сил от линии фронта, а также стоимость вооружения, которая пропорциональна весу артиллерийского орудия или самолета.

Довольно сложный расчет этой модели показывает, что в качестве поддерживающих сил следует применять артиллерийские орудия ближнего действия, малого калибра и высокой скорострельности. Поддерживающая бомбардировочная авиация, наоборот, должна быть предпочтительно тяжелой.

Если матричные игры предполагают применение некоторых дискретных «ходов», каждый из которых имеет свою цену, то в теории дифференциальных игр операция считается протекающей непрерывно во времени. Типичными дифференциальными играми являются игры «преследования».

При той формулировке, которая дана в начале нашего очерка, стратегия преследуемого почти очевидна. Он должен спокойно ждать наезжающий на него автомобиль и отскакивать в сторону на расстояние, меньшее радиуса поворота автомобиля. Однако в этой игре ценой может быть и время. Шофер стремится привести свой замысел в исполнение как можно быстрее. Преследуемый ставит перед собой прямо противоположную цель, потому что он ожидает подкрепления, помощи или момента, когда в баках иссякнет бензин.

Новая цена игры резко усложняет ее решение, и теперь поведение и шофера и жертвы становится куда запутаннее.

Военные варианты игр на преследование легко себе представить. Это преследование бомбардировщика истребителем, военного корабля бомбардировщиком, пехоты танками и т. д.

В условиях современного быстротекущего боя с участием различных родов войск, с внезапными изменениями обстановки на суше, на море и в воздухе, ни одному военачальнику не придет в голову составлять платежные матрицы и решать математические уравнения для нахождения наилучшей стратегии.

Тактические и стратегические рекомендации, которые будут выдавать быстродействующие вычислительные машины, наиболее полно информированные о боевой обстановке, могут быть очень полезными.

23