Техника - молодёжи 1970-02, страница 43

Периодическая. таблица простых чисел. Каждое нижележащее число отстоит от верхнего в столбце на 30, словно отсчитывается от него тридцатизалповым салютом. Показаны только два семейства параллельных линий, выметающих из таблицы все числа, делящиеся на 7 и 17. Нетрудно убедиться, что каждому простому числу соответствует свое семейство параллельных.

Числовая спираль с шагом 30. Все простые числа попадают только в восемь столбцов с верхними членами 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.

ся отрезки длиной по 6 и 24. От начала, то есть единицы, отбрасывается шесть первых цифр. От 7 отсчитываем 24 — кромсаем ось между 31 и 32. Затем отрезается еще шесть чисел, а от 37 до 61 идет следующий большой кусок оси, и т. д.

Маленькие отрезки выбросим, чтобы не мешали. Только в первом из них есть неделимые 3 и 5, зато в остальных, повторяющихся через интервалы 6+24—30, их быть не может, Действительно, 3+30п=3 (1 + Ч-10n) и делится при любом n, а 5 + ЗОп = 5(1 Н- 6п) и тоже всегда составное.

Остались большие отрезки. Их расположим вплотную друг под другом. Числовой интервал по 30 между соседними рядами везде одина~ ков. Каждый столбец равномерно растет сверху вниз.

В самом верхнем ряду, от 7 до 31, выбросим все составные числа и вместе с ними — нижележащие столбцы, в которых, очевидно, не может быть неделимых. Вот и получилась восьмеричная таблица. Ни одно простое число заведомо не может не попасть в нее. Другого пути для построения подобной правильной двумерной структуры нет.

Но что это? В благородное собрание затесались и всякие посторонние, которым «вход запрещен», — уже

во втором ряду мы видим 49, в третьем — 77 и 91. Как быть?

Здесь-то мы и вступаем в царство геометрии. Все составные числа выметаются из таблицы, если наложить на нее сетку из семейств параллельных прямых. Расстояния между параллельными каждого семейства одинаковы и равны тому или иному простому числу. Всего семейств столько же, сколько неделимых на числовой оси. Закон отсева — сгущающийся книзу несложный геометрический узор, алгоритм. Словно «магический» орнамент восточных ковров, этот узор единствен и неисчерпаем.

Данная периодическая система простых чисел наводит на размышления о роли восьмеричности в природе. Прежде всего вспомним октаву и весь круг связанных с ней пифагорейских музыкально-космических идей. Восемь периодов — в таблице Менделеева, а элементарные частицы тоже группируются в семейства по восемь членов. Недаром крупнейший современный физик М. Гелл-Манн вспомнил о буддийском «благородном восьмеричном пути» к совершенству. Интересно отметить, что физические «атомы», как и арифметические, тоже упорядочиваются в спектр на столь модных ныне графиках Редже с помощью сеток параллельных линий.

Восьмеричная симметрия в физике и химии — проявление так называемой «группы вращения». Короче, снова геометрия! Быть может, удастся придумать какую-нибудь вращающуюся модель — например, спираль на цилиндре — и найти еще более наглядные геометрические законы расположения простых чисел, этих краеугольных камней математики и материи.

ОБСУЖДЕНИЕ. Еще до нашей эры знаменитый Эратосфен предложил вычленять простые числа методом зачеркивания — сначала из бесконечного числового ряда выбрасывать все числа, делящиеся на два, затем делящиеся на три, пять, семь, одиннадцать и т. д. Что же предлагается взамен — усовершенствованное эра-тосфеново решето? Думается, нет. О восьмирядовой таблице с сеткой параллельных, возможно, ранее никто не догадывался. Во всяком случае, подобный геометрический подход не рассматривается ни в книге крупнейшего польского математика В. Сер-пинского «Что мы знаем и чего' не знаем о простых числах» (1963), ни в фундаментальных монографиях Дж. Касселса «Введение в геометрию чисел» (1965) и К. Прахара «Распределение простых чисел» (1967). Изюминка одна — разбитие числовой оси на тридцатиричные отрезки. Логикой до этого выбора дойти трудно — почему 30, а не 21, или 40, или 50?

Но у людей искусства свои законы, они каким-то «наитием» чувствуют ритмику слов, идей, линий и цифр.

41