Техника - молодёжи 1971-09, страница 66

МАТШАтичгаии

СТРАНИЧКА

Прекрасная Елена Геометрии

М. Гарднер

Общее название линий, описываемых точкой любой кривой, катящейся без трения по любой другой кривой, — рулетты. Простейшая из рулетт, описываемая точкой окружности, катящейся без трения по прямой линии, — циклоида. Ее называют иногда Прекрасной Еленой Геометрии не только благодаря ее замечательным свойствам, но и потому, что из-за нее произошло немало конфликтов между знаменитейшими математиками.

Первый важный трактат, посвященный этой уникальной линии, издал в 1644 году Евангелиста Торри-челли. 14 лет спустя великий Паскаль, оставивший математику ради богословия, был застигнут страшной зубной болью. Чтобы как-нибудь отвлечься, он начал думать о циклоиде. И когда боль стихла, Паскаль решил, что богу не претят его размышления об этой кривой. В течение следующих 8 дней он штурмовал теорию циклоиды, и его трактат привлек внимание других математиков к этой кривой.

Прежде всего возникает вопрос: какова длина этой линии? Ответить на него не так-то просто. Положим, что диаметр образующей окружности — 1. Тогда основание циклоиды — прямая АВ (рис. 1) — равна п, то есть числу иррациональному. Естественно ожидать, что и длина циклоиды — иррациональное число. Но ничуть не бывало. Строитель собора святого Павла в Лондоне Кристофер Рен доказал, что длина циклоиды ровно в 4 раза больше диаметра образующей окружности.

А чему равна площадь арки, находящейся между циклоидой и прямой АВ? Галилей считал. что она в г. раз больше площади образующего круга. Роберваль и Торричелли доказали другое: эта площадь ровно в 3 раза больше площади круга.

Механические свойства циклоиды столь же замечательны, как и геометрические. Известно, что период колебаний маятника можно считать не зависящим от амплитуды лишь для небольших углов отклонения. А можно ли сделать маятник изохронным, то есть таким, чтобы период его колебаний не зависел от величины размахов? Голландский геометр Гюйгенс в 1673 году придумал конструкцию такого маятника. Две щечки, выгнутые по циклоидам, устанавливаются в точке подвеса маятника так, как показано на рисунке 2. К сожалению, трение в подвеске изохронного маятника гораздо больше, чем в обычном.

Гюйгенсу принадлежит и другое важное открытие: циклоида — таутохрона. Представьте себе шарик, катящийся без трения по перевернутой «вверх ногами» циклоиде. Независимо от того, с какого места кривой начал свое движение шарик, он достигнет нижней точки за одно и то же время. А теперь вообразите чашу, внутренняя поверхность которой образована вращением перевернутой циклоиды вокруг вертикальной оси, проходящей через нижнюю точку. Все шарики, выпущенные одновременно с разных точек внутренней поверхности чаши, достигнут центра в один и тот же момент, ибо каждый шарик становится своеобразным изохронным маятником.

В 1696 году швейцарский матема

1.

тик Иоганн Бернулли поставил задачу о брахистохроне — кривой наибыстрейшего спуска. Пусть две точки А и В (рис. 3) лежат на разных высотах, но не на одной вертикали. Какой кривой надо соединить эти точки, чтобы скатывающийся по ней без трения шарик достиг точки В за наикратчайшее время? Задачу Бернулли решили его брат Якоб, Лейбниц, Ньютон и другие: брахистохрона — циклоида.

Чтобы найти радиус образующей окружности, надо взять окружность произвольного диаметра, поместить ее под линию АС и наметить на ней точку, соприкасающуюся с точкой А Затем перекатываем эту окружность по АС до тех пор, пока она не пересечется с прямой АВ в точке D. Поскольку все циклоиды подобны, мы знаем, что AD так относится к АВ, как раДиус произвольной окружно

сти к радиусу искомой. Окружность наиденного таким образом радиуса, катясь вдоль АС, прочертит циклоиду, соединяющую А и В. Любопытно, что в нашем случае шарик должен двигаться вверх, чтобы достичь точки В. И тем не менее он достигнет ее быстрее, чем катясь по прямой линии, окружности или любой другой кривой. Даже если А и В лежат на одной высоте, то и тогда шарик преодолеет расстояние между ними за кратчайшее время.

Итак, мы убедились, что окружность, катящаяся по прямой линии, образует циклоиду. А по какой линии должна катиться окружность, чтобы точка, лежащая на ней, вычерчивала прямую линию? Или иначе: по какой дороге должен катиться экипаж, изображенный на рисунке 4, чтобы его пассажиры чувствовали себя так же покойно, как пассажиры вагона, катящегося по идеально прямым рельсам?

Перевод с английского.

ХРОНИКА ТМ

ф В соответствии с программой Всесоюзного совещания-семинара секретарей обкомов и крайкомов комсомола по вопросам идеологической работы состоялась встреча редакции ТМ с группой участников совещания.

Гости редакции были ознакомлены с основными* тематическими направлениями журнала, с планами пропаганды на его страницах достижений науки и техники и освещения важнейших проблем участия молодежи в научно-техническом прогрессе. Состоялся оживленный обмен мнениями по вопросам деятельности журнала, были высказаны конкретные рекомендации, которые редакция намерена учесть в своей работе.

Перед гостями выступили постоянные авторы и консультанты журнала: маршал артиллерии Г. Ф. Одинцов, генерал-майор инженерно-технической службы, доктор технических наук, профессор Г. И. Покровский, историк Г. И. Еремин, писатель-маринист Л. Н. Скрягин.

Во встрече приняли участие секретарь Иссык-Куль-ского обкома ЛКСМ Киргизии К. Макеев, секретарь Харьковского обкома ЛКСМ Украины А. Садовенко, секретарь Тульского обкома ВЛКСМ А. Костюрин, секретарь Минского обкома ЛКСМ Белоруссии А. Леонов,

секретарь Брестского обкома ЛКСМ Белоруссии В. Хо-мич, инструктор Чарджоуского обкома КП Туркменистана О. Джораев, ответственный организатор ЦК ВЛКСМ к. э. н. Р. Хасбулатов.

ф В связи с выпуском специального номера ТМ, посвященного 50-летию комсомола Казахстана и 25-летию Академии наук республики, представители редакции выезжали в Алма-Ату, где приняли участие в праздновании 50-летия комсомола Казахстана, выступили по республиканскому телевидению. Состоялся также выезр к пограничникам. Сотрудники ТМ побывали на заставе, на учениях пограничников, выступили перед личным составом пограничной заставы.

# Редакция принимала польского журналиста, заведующего отделом науки журнала «Перспективы» Ежи Сурдиковского. Были обсуждены проблемы обмена информацией по науке и технике.

Щ Гостем редакции был научный работник из Народной Республики Болгарии Донче Папазов, ведущий исследования моря. Болгарский гость рассказал о своих экспериментах. Достигнута договоренность о публикации статьи на тему освоения океана.

62