Техника - молодёжи 1973-04, страница 67

У звестно, что значительное число ви-■■ дов одноклеточных организмов размножается делением. Как ни странно, нечто подобное можно сделать и с треугольниками. В частности, можно рассечь любой треугольник прямой линией, идущей из одной его вершины к противолежащей стороне. В этом случае треугольник разделится на два треугольника. Естественно, возникает вопрос: сохраняют ли полученные таким образом треугольники какие-либо признаки треугольника, из которого они образовались? Не трудно догадаться, что треугольники-«сыновья» сохраняют одну из сторон треуголь-ника-«отца» и один из его углов. Повторение «наследственных признаков», возникающих при делении треугольников, можно повысить, если выделить особые виды треугольников, способные особенно устойчиво передавать «потомству» свои характерные особенности. К таким видам следует прежде всего отнести прямоугольные треугольники. Их можно рассекать прямой, проходящей через вершину прямого угла и перпендикулярной к гипотенузе.

Ввиду того, что рассекающая прямая перпендикулярна гипотенузе, в каждом из треугольников-«сыновей» возникает свой новый прямой угол. Следовательно, в каждом из треугольников-«сыновей» окажутся два угла, равных углам треуголь-ника-«отца». Однако известно, что сумма всех трех углов треугольника всегда постоянна и равна двум прямым углам. Поэтому если два угла равны друг другу, то третьи углы будут также равными. Таким образом треугольники-«сыновья» сохраняют все углы треугольника-«отца», то есть подобны ему по форме, хотя, естественно, имеют меньшие размеры. При этом происходят любопытные преобразования — катеты треугольника-«отца» превращаются в гипотенузы треугольников-«сыно-вей».

Рис. /. Т реугольники-«сыновья» не полностью совмещаются с треуголь-ником-«отцом» — гипотенузы не параллельны. Чтобы они стали параллельными, нужно перевернуть тре-угольники-«сыновья» на обратную сторону.

Рис. 2. Треуголъники-«внуки» полностью совмещаются с треуголъни-ком-«дедом». Гипотенузы всех треугольников параллельны. Два треугольникам внука» равны — они имеют общую гипотенузу.

Правда, подобие это отличается любопытной особенностью. Допустим, что треугольник-«отец» вырезан из бумаги в двух экземплярах. Один разрезается на два треугольника-«сы-на» так, как описано выше. После этого треугольники-«сыновья» совмещаются друг с другом путем их наложения — меньший накладывается на более крупный. Прямые углы совмещаются. Гипотенузы оказываются параллельными. Если представить себе, что меньший треугольник начинает расти, то он может в определенный момент полностью совпасть со своим треугольником-«братом». Таким образом, треугольники-«братья» являются в полной мере и близнецами.

Попробуем сопоставить каждый из треугольников-«сыновей» с копией его греугольника-«отца». Совместив прямые углы, мы обнаружим, что гипотенузы не параллельны (в случае, если катеты не равны друг другу). Таким образом, совмещение тре-угольника-«отца» и треугольника-«сы-на» дает совсем не тот результат, какой получается при совмещении треугольников-«братьев». Что же нужно сделать, чтобы при совмещении треугольника-«сына» с треугольником-«отцом» достичь параллельности гипотенуз? Нужно один из сравниваемых треугольников перевернуть на другую сторону и после этого произвести совмещение. И вот теперь обнаружится, что гипотенузы параллельны. Таким образом, треугольни-ки-«отцы» и треугольники-«сыновья» становятся полностью подобными только при совмещении после переворачивания одного из них.

Разрежем теперь по рассмотренным правилам треугольники-«сыновья» и получим всего четыре треугольника-«внука». Сопоставим первоначальный треугольник, который можно назвать треугольником-«дедом», с треугольни-ками-«внуками». Выходит, что у них гипотенузы параллельны без какого-либо переворачивания. «Внуки» непосредственно подобны «дедам».

Итак, размножение прямоугольных треугольников делением приводит, с одной стороны, к сохранению в их «потомстве» определенных признаков: все углы оказываются соответственно равными у предыдущих и последующих поколений. Кроме этого, «сыновья» оказываются не просто подобными своим «отцам», а имеют так называемое «зеркальное» подобие. «Внуки» же просто подобны своим « дедам».

Как видим, в области элементарной геометрии проявляются некоторые характерные особенности, которые встр»ечаются и в условиях передачи наследственных признаков при размножении живых организмов самой различной сложности.

62