Техника - молодёжи 1977-02, страница 64

2X2 4, вовсе не обязан был доказывать это равенство. Он должен был доказать, что 2X2 не может быть ни больше, ни меньше четырех. Если он сумеет убедить слушателей или читателей, что иное решение ведет к абсурду, он выполнил свое назначение.

Приведение к абсурду — таков традиционный метод математиков в течение многих столетий.

И Архимед, боясь нарушить эту традицию и прослыть вольнодумцем, поступал, как все: скрывал ход своих решений, а доказательства оформлял в стиле приведения к абсурду.

2. Лукавство или мужество?

И все же труды Архимеда, выполненные в строгом соответствии с господствующим стилем изложения, яснее и понятнее математических трудов многих других авторов.

Знакомство с математическими трудами Архимеда показывает, что даже в пределах канонических доказательств он стремится дать в руки читателя не только формальное доказательство, но и конструктивный метод решения. Это очень не просто.

По сравнению с автором «Начал» Архимед делает не существенный, но, казалось бы, безупречный с формальной точки зрения шаг. Например, определяя площадь кривой, он не только вписывает в нее ступенчатую фигуру, но и описывает аналогичную фигуру снаружи кривой. Затем он, давая разницу площадей до минимума (методом исчерпания), доказывает, что площадь вписанной фигуры всегда меньше некоторой величины, а площадь описанной фигуры всегда больше нее. Более того, он доказывает, что разность площадей этих ступенчатых фигур может быть сделана меньше любой заданной величины. Так он подводил читателя к понятию предела, учил его работать с величинами, стремящимися к пределу.

Позднейшие исследователи, сравнивая метод изложения Евклида и Архимеда, отдавали предпочтение Архимеду.

Особенно виртуозным и по исполнению и по объяснению является определение им площади замысловатой фигуры — раковинообразной спирали, которую потомки назвали в его честь спиралью Архимеда. Он определяет интересующую его спираль, как кривую, которую описывает точка, равномерно движущаяся по прямой, в то время как эта прямая равномерно вращается во-^КРУ^Г АРУОЙ точки. В этом труде — «О раковинообразных линиях» — четко обнаруживается пристрастие Архимеда к механике. Впрочем, без механического подхода тогда и не

с F в о

1.

of ₆q

в а.

возможно было справиться с такой задачей. В этом же труде Архимед дает ясное определение механических понятий — «равномерное прямолинейное движение» и «равномерное вращательное движение».

Это сочинение очень интересно не только по существу, но и для характеристики отношения Архимеда к деятельности ученого.

В одном из своих писем Конону Архимед в числе прочих теорем поставил перед ним две, о которых он думал, что доказал их. Впоследствии он установил, что доказательства ошибочны. Во второй части сочинения «О шаре и цилиндре» он приводит правильные теоремы. Но вот что он пишет до этого в предисловии к книге «О раковинообразных линиях», составленном, как и в остальных трудах этого цикла, в виде письма к Досифею.

«Архимед желает здравствовать Досифею... Я перечислю здесь по порядку все теоремы, предложенные мною Конону, а особенно две из них, которые привели меня к неправильному выводу: пусть это будет устрашающим примером того, как люди, утверждающие, будто они умеют "доказать все то, что они предлагают решить другим, но не прилагающие собственных решений этих вопросов, в конце концов принуждены убедиться, что они брались доказать то, что доказать невозможно». Он намокает на опасную возможность ошибок, связанную с громоздким многословием метода абсурда.

Далее, перечисляя свои теоремы, он, в соответствующем месте указывает: «Следующая теорема была неверной, а именно вот что...» и «Не верна также и последняя предложенная мною для доказательства теорема...» В этом же тексте Архимед указывает, где он в своей книге «О шаре и цилиндре» дал правильные доказательства этих теорем.

Неполнота дошедших до нас текстов сочинений Архимеда, их трудность, увеличивающаяся наличием разночтений между различными рукописными экземплярами, привели к тому, что в литературе существует иная точка зрения на две неверные задачи Архимеда, о которых говорилось выше.

Некоторые считают, что Архимед сознательно включил в число зад^ч, посланных им Конону и, возможно, другим математикам, две неверные, чтобы, как сказано в одно//, чз ьъ-риантор :та: «Тех, которые утверждают, они все открыли, и не приводят лкаких доказательств открытого, можно было бы уличить и заставить согласиться с тем, что они открыли невозможное».

У нас нет данных для того, чтобы предпочесть одну из этих точек зрения.