Техника - молодёжи 1977-02, страница 66

руя результаты деления этих фигур на малые элементы, уподобляемые ими неделимым атомам, или амерам. Имея дело с прямой линией, математики-атомисты представляли ее как сумму точек-амер. Площадь составляли из прямых-амер. Объем — из площадей-амер.

Сложное из простого — мировоззрение современных материалистов — было также принципом древних материалистов. И то, что сложные фигуры они разрезали на простые, было логичным — их легче анализировать, сопоставлять, измерять. А потом оставалось проинтегрировать результаты — просто сложить. Такие методы, конечно же, нагляднее и проще витиеватых рассуждений, положенных в основу метода приведения к абсурду.

Для Архимеда эта находка была подобна вспышке молнии. Древние мудрецы знали и пользовались почти теми же приемами, которые Архимед независимо от них разработал сам и пользовался втайне от всех!

Раньше Архимед знал о математических трудах Демокрита лишь с чужих слов. Обычно это была лишь хула. Мысль о строении всего сущего из малых неделимых атомов была ненавистна мудрецам древности — Платону и Аристотелю. Хотя Платон был идеалист, а его любимый ученик Аристотель — материалист, их объединяла ненависть к учению атомистов, и их стараниями труды Демокрита и его учеников и последователей были уничтожены

Аристотель в своем сочинении «О небе» писал: «Постул^уя неделимые тела, Демокрит и Левкипп должны впасть в противоречие с основами математики... Самое д\а-♦ленькое отступление от истины в дальнейшем ходе рассуждения увеличивается в десятки тысяч раз... Введение самой маленькой величины расшатывает великие основы математики».

Амеры, к которым атомисты сводили геометрические построения, казались не в меру строгим философам горой на пути землемера

Эта точка зрения была даже облечена в форму принципа, определяющего математическое мировоззрение античности: «Все научные системы истинны лишь постольку, поскольку они не основаны на предположении, что непрерывное состоит из неделимых».

Архимед же нарушал этот принцип, пользуясь запрещенным методом разделения сложных фигур на элементарные.

Вот почему Архимед не пропагандировал свой способ. Вот почему после нескольких робких попыток заявить о нем он замолчал. Не понимая огромную мощь этих методов, он втайне пользовался ими. Однако при публикации облекал по

лученные результаты в форму общепринятых доказательств.

И вот теперь Архимед увидел, что он не одинок. Что такой мудрец, как Демокрит, при помощи «самых маленьких величин», амер, получал поистине чудесные результаты!

Архимед понял всю глубину заблуждения Ппатона — ведь тот знал метод Демокрита {«что касается отношений линий и площадей, то разве мы, эллины, не думаем, что их возможно измерять одни другими?») и отказался от него («но это никак и никаким образом невозможно...»)!

Не близорукость ли это? Не деспотизм?

Пусть методы Демокрита не строги, но они плодотворны. Архимед убедился в этом на примере собственных работ. Он не будет больше молчать. Он не должен далее таить свой метод. Его н/жно сооб-

щи^ть хотя 6'..i математикам. И Архимед пишет «Послание к Эратосфен/ о механических теоремах».

После традиционной фразы: «Архимед Эратосфену желает благе действовать!», он излагает программу книги: «Я уже посылал тебе найденные мною теории, предоставил найти их доказательства. 3 книге мы опишем, что было обнаружено нами при помощи механики... в конце же книги напишем геометрические доказательства тех теорем».

Цель ясна — на примерах показать мощь механических методов, а затем доказать их справедливость и законность, подтвердив верность полученных результатов при помощи безупречных коалиционных методов.

Это намерение — не просто а: а г от ор«-юго метода к другому Этс был бунт прглиа традиции.

5. Бунт Архимеда

Бунт Архимеда ограничивается чисто математическими проблемами. Он впервые поднимает принципиальный методический вопрос о рх.,ли своих методов я развитии математики. Теперь, кед© он получи

опору в трудах древнего мудреца, когда он перестал чувствовать себя одиноким, он хочет доказать полезность своих методов. Он не только не стыдится их огласить, как это было раньше, а стремится подчеркнуть их возможности.

Дадим же слово Архимеду, пусть оно и покажется читателю несколько тяжеловесным. Он пишет Эратосфену:

«Зная, что ты являешься ученым человеком и по праву занимаешь выдающееся место в философии, а также при случае можешь оценить и математическую теорию, я счел нужным написать тебе и в этой же книге изложить некоторый особый метод, при помощи которого ты получишь возможность при помощи механики находить некоторые математические теоремы Я уверен, что этот метод будет тебе ничуть hg менее полезен и для доказательства самих теорем. Действительно, кое-что из того, что ранее было мною усмотрено при помощи механики, позднее было также доказано и геометрически, так как рассмотрение при помощи этого метода еще не является доказательством. Однако получить при помощи этого метода некоторое предварительное представление об исследуемом, а затем найти и само доказательство, гораздо удобнее, чем производить изыскания, ничего не зная.

..Поэтому я и решил написать об этом методе и обнародовать его, с одной стороны, чтобы не оставались пустым звуком прежние мои упоминания о нем, а с другой, поскольку * убежден, что он может принести математике немалую пользу. Я полагаю что некоторь.е современные нам или будущие мгчематики смогут при помощи указанного д етода найти и другие теоремы, которые нам еще не приходили в голову».

Архимед не случайно пишет Эратосфену. Этот ученый, несмотря на свою ортодсксальность, иногда отваживался вопрем Платону пользовать ся при геометрических построениях не только циркулем и линейкой. Он сам придумывал инструменты и механизмы для вычерчивания кривых линий. Эратосфен отвергал мнение Платона о том, что математика должна подымать нас ввысь, а не низводить >* бренному миру. Он не придавал значения словам Платона. «При таких ре Гениях прспадзе. и тонет бгзго геометри . зп чзр зшаюшейся назад к чувственным вещам...» Эратосфен знал, что благодаря таким настроениям учение о пространственных фигурах, о пересечениях конических тел долго игнорировалось математиками и даже не вошло в «Начала» Евклида. Ведь при помощи циркуля и линейки такие построения проводить невозможно.

Твперь мы знаем, что циркуль и личейка позволч-от справиться лишь

■ ■■■ а ваг* ■ «а* а а а* и ■ ■ » УЛщ В'В*ЦГ • «а*¹* тщш0л тщл щ » ■ а ввв ■

• ■■ » ■ а в я я ■ ■ в ■ ? а ■ аш вр в» в *' ■ ■ * в в в ■ ■ а

■ am ■ ава в ввв в вам в аав в ввв в ввв в ава а вва в вав в ав* в авв 8 ава а шшщ в ава а аав