Техника - молодёжи 1977-02, страница 67

с решением задач, сводящихся к уравнениям первой и второй степеней. А пересечения объемных фигур (плоскостей с цилиндрами, конусами и шарами) приводили к задачам, сводящимся к уравнениям третьей и более высоких степеней.

Понимая это, Эратосфен придумал ряд приборов, позволяющих решать такие трудные задачи. Значит, он отступал от традиций и лучше других мог понять новые идеи Архимеда.

Не здесь излагать глубокое математическое содержание «Эфода».

Вряд ли случайно это сочинение осталось почти неизвестным современникам Архимеда и было скрыто от последующих поколений ученых около двух тысяч лет. Вероятно, не случайным является и то, что «Эфод» — последнее из дошедших до нас математических сочинений Архимеда.

Весьма возможно, что перипатетики сознательно уничтожили труды Архимеда, которые грозили подорвать традиции Аристотеля.

Единственная копия «Эфода» была обнаружена совершенно случайно.

Приват-доцент Петербургского университета Попандопуло Керамевс в 1906 году нашел латинскую рукопись духовного содержания, написанную на пергаменте, с которого был смыт первоначальный греческий текст. Он сумел прочесть часть этого текста и опубликовал его, не прида

«Искусство, доведенное до совершенства...»

Так отзывался о методе Архимеда Герон Александрийский. И у него для столь лестного отзыва были серьезные основания: не кто иной, как Архимед дал изящные решения многих задач. Вот начало рассуждений о нагрузке на колонны храма — проблема для того времени архиактуальнейшая (рис. 1 на стр. 59).

«Представим, что груз АВ (над колоннами) разделен в точке Е вертикальной линией по колонне Е, тогда нам ясно, что со стороны груза АЕ на каждую из колонн АС и Е приходится половина его веса, а со стороны груза ЕВ на каждую из колонн АС и Е приходится половина его веса... Следовательно, на колонну Е приходится половина веса ЕВ и половина веса АЕ, то есть половина всего веса АВ, на колонну АС приходится половина веса АЕ...» Нетрудно самостоятельно продолжить рас-

ему особого значения. Известный датский филолог Гейберг, знаток трудов Архимеда, сразу понял ценность находки. Восстановив при помощи фотографических методов смытый текст, Гейберг сделал величайшее открытие. Это был греческий текст трактата Архимеда «О плавающих телах», известного ранее только в латинском переводе. Здесь же был и «Эфод», считавшийся утраченным. О его существовании было ранее известно лишь по цитатам в «Механике» Герона. На него ссылались и другие авторы.

В «Эфоде» упоминаются труды Архимеда «О шаре и цилиндре», «О коноидах и сфероидах» и «О равновесии». Значит, он был написан после них.

Так мы узнали, что в своих ранних математических сочинениях Архимед пользовался методами, заимствованными им из его же работ по механике; что впоследствии он избегал упоминать о том, как он получил свои результаты, ограничиваясь доказательством их справедливости в духе общепринятых геометрических методов. Более того, теперь стало несомненным, что Архимед не публиковал большей части своих работ в области механики.

Трагизм всей творческой жизни Архимеда стал нам понятен только после титанической работы Гейберга, восстановившего текст «Эфода».

суждения Архимеда: они притягательно просты и лаконичны.

Ниже изображена схема равновесия грузов (рис. 2), из которой явствует, что «можно сдвинуть большую величину малой силой» (знаменитый принцип рычага!).

Рисунок 3 подтверждает, что «всякий сферический сегмент равен конусу, имеющему то же основание, что и сегмент, а высотой прямую, которая к высоте сегмента имеет такое же отношение, как вместе взятые радиус шара и высота дополнительного сегмента к высоте дополнительного сегмента» (Архимед. «О шаре и цилиндре»).

Следующая теорема (рис. 4) гласит: «Всякая площадь, ограниченная эллипсом, имеет к кругу с диаметром, равным большему диаметру эллипса, то же самое отношение, что меньший диаметр эллипса к большему или к диаметру круга» (для доказательства Архимедом вписаны в круг и эллипс многоугольники). Сходным же методом Архимед доказал, что «всякий круг равен прямоугольному треугольнику, причем радиус круга равен одной из прилегающих к прямому углу сторон, а периметр — основанию треугольника» (рис. 5).

Рисунок 6 свидетельствует о неравенстве углов, образованных касательной к спирали и прямой, соединяющей точку касания с началом

...Архимед смело и доблестно защищал родной город Сиракузы от римлян-завоевателей. Но он долго не отважился открыто восстать против авторитета Аристотеля. Решая свои задачи, он отвергал Аристотелевы догмы. Шел вперед вопреки им. Но в публикациях стремился скрыть это. Лишь в одном известном нам сочинении — в «Эфоде» — Архимед ясно изложил свою точку зрения на творческие возможности современной ему математики. Возвысил то, что другие считали низким.

Но «Эфод» был неизвестен современникам и остался скрытым от потомков дольше других дошедших до нас произведений Архимеда.

Лишь начиная с IX—X веков арабские ученые начинают интересоваться трудами Архимеда. Поэтому многие из них стали известны нам по арабским переводам.

Для европейских ученых эпохи Возрождения труды Архимеда были сложными и непонятными. Однако начиная с пятнадцатого века интерес к его работам быстро растет. Их переводят на латинский и на живые языки. Этим занимаются такие крупные математики, как Тарталья и Вьетта. Труды Архимеда использовали Кеплер и Кавальери, Гюйгенс и Ферма.

После долгого забвения звезда Архимеда взошла снова, чтобы сиять вечно.

спирали. Общий центр тяжести двух «равных величин» расположен в середине прямой, соединяющей центры тяжести этих величин — еще одна фундаментальная истина, имеющая отношение к теории рычагов (рис. 7). О местоположении центра тяжести параболического сегмента (он ближе к вершине сегмента, чем центр вписанной прямолинейной фигуры) рассказывает чертеж 8. Архимед виртуозно владел приемом сопоставления площадей и объемов путем построения ступенчатых фигур и тел, служивших ему вспомогательным, но безотказным инструментом при доказательствах (рис. 9). А вот фигура, «изобретенная» Архимедом, — салинон (АСОДВО) (рис. 10). Она равна по площади кругу на диаметре G. Деление круга на семь равных частей по Архимеду изображает рисунок 11.

В одном сочинении, посвященном многогранникам, писалось: «Таковыми являются не только указанные божественнейшим Платоном пять тел, а именно — тетраэдр, гексаэдр, октаэдр и додэкаэдр, пятое же икосаэдр, но и найденные Архимедом тринадцать других заключающихся между равносторонними, равноугольными, но не подобными друг другу многоугольниками». На рисунке 12 и на 4-й стр. обложки — некоторые из многогранников Архимеда.