Техника - молодёжи 1991-02, страница 16

Панорама

Леонид КОРОХОВ,

инженер

Елка-фрактал

Двенадцать лет назад наш журнал опубликовал статью А. Майсю-ка «Фрактали — странности реального мира» («ТМ», 1979, М 2). С тех пор о фрактальных структурах появилось немало новых известий, и написание термина стало иным — «фрактал». И вот теперь, через столько лет, ту публикацию заметил инженер Л. П. Корохов. Он пишет в редакцию: «Статья послужила спусковым механизмом, который привел меня в красочный мир дробной размерности. И этот мир подарил мне фрактальную кривую, которую я назвал топологическим древом. Дети назвали ее елкой.

Елка-фрактал дала мне возможность теоретически доказать закон ветвления речных систем. А мелиоративная сеть вида «топологическое дерево» признана изобретением, на которое я получил авторское свидетельство № 1020081».

Часто приходится слышать мысль о том, что люди обращают внимание на ничтожные, случайные явления Именно потому, что они случайны, редки, и наоборот, проходят без внимания мимо крупных, широко распространенных явлений из-за их обыкновенности: ветвлений, разветвлений вокруг нас столько, что мы и внимания часто на них не обращаем.

В природе ветвящиеся структуры встречаются всюду, где необходимо наилучшим образом собрать с некоторой поверхности или тела вещество и энергию в одну точку при минимальной общей длине структуры или, наоборот, равномерно распределить их. За такими «деревьями» замечено чудесное свойство: каждый фрагмент напоминает целое. Совсем как матрешки.

Вот такие структуры, состоящие из геометрических фрагментов различного размера и ориентации, но аналогичные по форме, получили название фракталов.

Поскольку мозаика фрактала сложена из повторяющих друг друга элементов все более мелкого масштаба, его длина не поддается чет

кому определению. Если попытаться измерить ее с помощью линейки, то какие-то детали всегда окажутся меньше самого мелкого деления шкалы. Поэтому с ростом разрешающей способности измерительного инструмента длина фрактала увеличивается. Вот пример. Один немецкий ученый предпринял «египетский» труд: вооружившись щипчиками, циркулем, а главное — почти неистощимым запасом терпения, он непосредственно измерил до мельчайших разветвлений длину фракталоподобной структуры — корня пшеницы. Результат поразил его воображение. Все волоски и отростки невзрачного с виду корешка вытянулись бы по прямой на... 510 м. Однако в наше время, применив микроскоп и современную вычислительную технику, получили другое число —20 км!

Понятно, что если длина фрактала не является представительной величиной, то нужна какая-то иная характеристика. С этой целью математики вычисляют «размерность» фрактала, позволяющую количественно оценить, как он заполняет пространство. Понятие размерности относится к классической, или евклидовой, геометрии. Линия имеет размерность 1, круг — размерность 2, сфера —3. Однако фракталы имеют не целую, а дробную размерность. В то время как гладкая евклидова линия заполняет в точности одномерное пространство, фрактальная линия выходит за его пределы, вторгаясь в двумерное, и имеет размерность между единицей и двойкой. Аналогичным образом фрактальная поверхность — горный рельеф, например,— имеет размерность в пределах от двух до трех.

Этому определению: «не линия, не поверхность, не тело» — отвечает и моя елка-фрактал.

Елка-фрактал — это кривая, не имеющая ни в одной точке касательных, из тех, с которых, по мнению группы французских ученых, скрывшихся под псевдонимом «Н. Бурбаки», «началась вся патология в математике».

Конечно же, в повседневной жизни елку-фрактал не встретишь, она лишь парадигма — идеальная модель реальных физических явлений ветвления.

Для ее понимания нам потребуется представление о точке ветвления. Это — точка кривой, сколь угодно малая окрестность которой имеет в своих границах больше двух точек.

Итак, елка-фрактал представляет собой ветвящуюся по плоскости кривую, состоящую из одномерных и двухмерных симплексов¹. У этой кривой даже самая ничтожно малая часть ее в точности повторяет по свойствам саму елку. Кривая бесконечна, но вписывается в конечную площадь. Она непрерывна, но вся состоит из четких углов. Она не дифференцируема и не имеет касательных. Это не линия, не поверхность. Размерность ее дробная и равна величине 1,77178... Почти что корень из ч ! К тому же она топологически инвариантна, то есть отвечает доказательству Л. Бауэра, сделанному еще в 1911 году, что размерность пространства любого числа измерений есть топологический инвариант.

В результате анализа ветвления елки-фрактала (топологического дерева) получена функциональная зависимость между площадью абстрактного водосборного бассейна и длиной его главного водотока:

F=kL

где F — площадь абстрактного водосборного бассейна;

L — длина главного водотока;

f — степень покрытия поверхности водосбора ветвящейся структурой елки или ее размерность, равная 1,77178...;

к — коэффициент, отражающий плотность покрытия поверхности абстрактного водосбора «речной сетью».

Если размеры точек, составляющих елку-фрактал, равны размерам точек, образующих поверхность, на которой происходит ветвление елки, то коэффициент «к» равен 0,58, а ветвящаяся структура почти нацело заполняет простран-

'Симплекс (от лат. simplex — простой) - простейший выпуклый многогранник чанного числа измерений п. При п = 3 трехмерный симплекс представляет собой произвольный тетраэдр. Двумерный симплекс — треугольник, соответственно одномерный отрезок. Под нульмерным симплексом понимают просто точку.

14