Юный техник 1968-06, страница 30
Окончательно имеем, что :; = кя, к = 0, ± 1, ± 2.., у= arc fg ((— 1)к 2 ) +-ш, m = 0, ±1, ±2... | Ребро правильного тетраэдра равно а Найдите расстояние между скрещивающимися высотами граней тетраэдра. *<^:\>РЕШЕНИЕ. Пусть SABC — заданный тетраэдр (см. рис.). Возможны 1 два случая: а) рассматриваются высоты CD н SE и б) рассматриваются высоты CD и BF. В первом случае высота SE проходит через середину одной из сторон грани ЛВС, во втором случае высота BF проходит через одну нз вершин грани ЛВС. Очевидно, любые другие пары скрещивающихся высот можно отнести к первому или ко второму случаю. Ход решения задачи в обоих случаях одинаков, однако ответы разные. Приведем решение задачи в первом случае. Проведем через С прямую CG параллельно высоте SE до пересечения с продолжением ребра SB в точке G (см. рис.). Проведем далее прямые DG, DE и EG и рассмотрим пирамиду CDEG. Примем CDG за основание этой пирамиды, Е — за вершину. Так как CGIIES, то ES будет параллельна плоскости основания пирамиды, и поэтому общий перпендикуляр к прямым CD и SE, длина х которого равна искомому расстоянию, будет равен высоте пира- a VT миды. Найдем площадь основания CDG. Высоты CD = SE =---. В треугольнике CBG отрезок SE является средней линией, поэтому CG = 2SE = = а У 3T"gB 2а. Далее, в ADGB сторона DG лежит против угла В, который равен 60°, поэтому по теореме косинусов _ Л 2 У \ 3 DG = К DB2 4- GB3— 2DBGB cos 60° = 1 — + 4а* - а2 = -— а. | 4 2 Применяя далее теорему косинусов к Д DCG, найдем: cos DCG = о > следовательно, sin-s: DCG =- . Отсюда площадь основания пирамиды б ^DCG V 35 _б _ iV* vTaVJl=£« 8 VT Примем теперь Д CED за основание пирамиды. Его площадь равна - 16 Так как GB = 2SB, то отсюда легко вывести, что высота пирамиды CDEG, проведенная из вершины G, будет равна удвоенной высоте данного тетраэдра SABC, то есть равна 2а \/ . Следовательно, объем пирамиды CDEG равен: VCDEG з - 16 Но с другой стороны, этот объем равен следовательно, искомая высота х равна а Во втором случае х = —^^ . V" ю 28 |
