Юный техник 1969-09, страница 38

теоремы-гипотезы, противоположные эвклидовым, изучались в некоторой степени и арабскими математиками, в том числе и известным поэтом Омаром Хайямом.

— В чем же заключается различие между этими теоремами, противоположными эвклидовой геометрии, и неэвклидовой геометрией?

— То, что считается нами в настоящее время собственно неэвклидовой геометрией, связанной исключительно с именами Лобачевского, Гаусса и Бойий, отличается все же от системы теорем, противополож-ных эвклидовой геометрии, которыми занимались другие. Упомянутые математики rraptietrof приняли за истину основную аксиому системы теорем, противоположных эвклидовой геометрии, одновременно принимая tea истину и эвклидову геометрию. Тогджсак их предшественники, хотя и доказывали неэвклидовы теоремы, всегда считали ихрабсолютно ошибочными и отвергали идею, что наряду с эвклидовой геометрией — и одновременно с ней — может быть допущена и неэвклидова геометрия.

— Похоже, что неэвклидова геометрия существовала в некотором роде еще до ее основоположников, но ее просто игнорировали?

— Нет, ее не игнорировали. Здесь произошло нечто ^гораздо более странное и более сложное: неэвклидова геометрия не оставалась неизвестной, о ней знали, но ее категорически отвергали. Подобная геометрия не может существовать, это

сущая невозможность, чистая выдумка, говорили именно те, кто, доказывая ее теоремы, фактически разрабатывал ее.

Древнегреческие геометры сами стремились разрешить проблему параллельных. Но даже им не удалось свести к абсурду противоэвклидову систему. Из этого факта они как будто бы вывели заключение, выраженное довольно ясно в различных местах у Аристотеля, что для того, чтобы обосновать обычную геометрию...

— Разумеется, эвклидову?

— Да. Для того чтобы обосновать ее, строго необходимо, чтобы теорема о параллельных была принята и положена в основу геометрии без всякого доказательства, следовательно, как постулат. И я должен добавить, что, как это видно из фрагментов, переданных Аристотелем, взгляды древних греков были гораздо более передовыми в этом отношении, чем взгляды многих последующих математиков, до Лобачевского, Бойяй и Гаусса. А именно: тогда как все они были убеждены, что неэвклидову геометрию следует отвергать как невозможную и противоречивую, следовательно ложную, у Аристотеля мы нигде не встречаем этого ошибочного мнения. Напротив, он считал обе геометрии в равной мере оправданными и одинаково возможными с чисто логической точки зрения. На неэвклидову геометрию он смотрел как на плохую геометрию в этическом смысле слова, как на геометрию выродившуюся, или, как он говорил, агеометрическую. Но это, конечно, не так.

но, чтоГы две сходящиеся линии расходились в направлении схождения». 0. Хайям строит свою теорию гараллель-ных на основе этого постулата. Возможно, что это предлагали Аристотель, и по-явлеше пятого постулата у Эвклида объясняется его влиянием.

Но можно ли все же считать, что во времена Аристотеля существовала неэвклидова геометрия? В том смысле, как мы понимаем неэвклидову геометрию сейчас — как геометрическую систему, развитую столь же Цйбоко, как геометрия Эвклида/:т^отличагощуюся от нее неко-торьШи аксиомами и многими теоремами, — думаю, что нет. Но один вид нРэвклидовой геометрии в античном мире существовал: это геометрия на сфере. ^г До нас дошло сочинение Автолика «О движущейся сфере», написанное до Эвклида, в котором изложено много сведений о сферической геометрии. Интересно, что теоремы в книге Автолика дока

зываются не с помощью ссылок на аксиомы, а с помощью наложения и движения — приемами, которыми иногда пользовался и Эвклид, хотя и старался избегать их. Сохранились и более поздние «Сферики» александрийских ученых Феодосия и Менелая. Древним грекам было хорошо известно, что сумма углов треугольника на сфере, образованного дугами ее больших кругов, больше двух прямых углов. И вероятно, был известен приводимый И. Тотом пример квадрата, диагональ которого соизмерима с его стороной, — это большой круг сферы, разделенный на четыре равные дуги, его диагональ в два раза больше его стороны.

Большинство приводимых И. Тотом высказываний Аристотеля относится к сумме углов треугольника и имеет в виду тот случай, когда эта сумма больше двух прямых. Здесь Аристотель, видимо, имел в виду не неэвклидову геометрию в нашем смысле слова, а геометрию на сфере.

35