Юный техник 1980-01, страница 33

ВСТУПИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ

1. Четыре ученика: Витя, Петя, Юра и Сергей заняли на математической олимпиаде четыре первых места. На вопрос какие места они заняли, были даны ответы: а) Петя — второе, Витя — третье; б) Сергей — второе, Петя — первое; в) Юра — второе, Витя — четвертое. Указать, кто какое место занял, если в каждом ответе правильна лишь одна часть.

2. В выпуклом четырехугольнике найти точку, сумма расстояний от которой до вершин имеет наименьшее значение.

3. Известно, что а+в+сСО и что уравнение ах²+вх-(-с=0 не имеет корней. Определите знак коэффициента С.

4. Доказать или опровергнуть следующие утверждения: а) для того, чтобы число п⁵—п при п>1 делилось на 24, достаточно, чтобы натуральное число п было нечетным; б) для того, чтобы число п⁵—п при п>1 делилось на 24, необходимо, чтобы натуральное число п было нечетным.

5. Выпуклый четырехугольник имеет ось симметрии. Доказать, что верно по крайней мере одно из следующих утверждений:

а) вокруг четырехугольника можно описать окружность;

б) в четырехугольник можно вписать окружность.

6. В треугольнике ABC р — точка пересечения медиан. Доказать, что при любом выборе начальной точки О

рр_ ОА+ОВ+ОС 3

7. При каких значениях айв многочлен

р(х)=х⁴+х³+2х²+ах+в можно представить в виде р(х) = (х²+ах+Р)².

8. Дано, что пик — натуральные числа. Известно, что из следующих четырех утверждений:

а) п+1 делится на к;

б) п=2к+5;

в) п+к делится на 3;

г) п+7к — простое число

три верных, а одно неверное. Найти все возможные пары (п, к).

9. Доказать, что площадь квадрата, вписанного в треугольник (одна сторона квадрата лежит на стороне треугольника), не превосходит половины площади треугольника.

10. В шахматном турнире каждый шахматист половину своих очков набрал во встрече с участниками, занявшими три последних места. Сколько человек принимало участие в турнире?

11. Доказать, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит угол между медианой и высотой, проведенными из вершины прямого угла на гипотенузу, на конгруэнтные части.

12. Доказать, что уравнение

х⁴+5х³+15х—9=0 имеет два корня: один — отрицательный, другой — положительный.

13. Дана непрерывная функция <р(х). При каком необходимом и достаточном условии функций f(x) = (x—а)ф(х) дифференцируемая точке х=а.

Задание подготовили: преподаватель ЗФТШ В. АСЛАНЯН, доцент кафедры общей физики С. КОРШУНОВ, директор ЗФТШ Т. ЧУГУНОВА

31