Юный техник 1982-01, страница 55

= I мкФ, заряжённый до напря- количество тепла выделится в це-жения U == '10 В, подключают к пи при подключении конденса-батарее с ЭДС Е=2 В. Какое тора?

ВСТУПИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ

1. В классе 37 учеников: из них 25 учеников сдали нормы ГТО, 8 учеников имеют спортивные разряды и 9 учеников не сдали норм ГТО и не имеют спортивных разрядов. Сколько учеников в классе имеют спортивные разряды, но не сдали норм ГТО?

2. На плоскости даны три точки. Сколько можно построить параллелограммов с вершинами в этих точках?

3. Доказать или опровергнуть следующие утверждения:

а) для того чтобы число п²—2 делилось на 7 (п>3), достаточно, чтобы число п—3 было кратным 7;

б) для того, чтобы число п²—2 делилось на 7 (п>3), необходимо, чтобы число п—3 было кратным 7.

4. В треугольнике ABC точка Д лежит на отрезке АВ. _лДока-зать, что если ВСД = АСД, то

СДВ = 90° + ^(CAD-CBD).

Сформулировать и доказать обратную теорему.

5. Существуют ли такие целые значения ш, при которых дробь 12т +3

18т + 4 ^сокР^атима?

6. Даны векторы OA, OB, ОС =

= OA + OB, ОД = ОС + OB;

—-»■-»-

причем [ОВ| = |ОС| = |OD|. Найти величину угла АОВ.

7. Определить все значения параметра а, при которых промежуток [—1,3] содержится во множестве решений неравенства

x² — 2ах+а + 1>0.

8. Даны два утверждения:

а) система ах + (1 + ^а)У = а

Зх + (5 + а)у=2+а

имеет бесконечно много решений;

б) прямые, заданные уравнениями

4х + 5у = 6; 6х + (1 + а)у = 10, пересекаются в области х>0,у<0.

При каких значениях а одно из этих утверждений ложно, а другое истинно?

9. Доказать, что если стороны а, в, с треугольника ABC связаны зависимостью

1 _1___3

а + b ⁺ b + с ~ а + b + с' то угол В равен 60°. Сформулировать обратное утверждение. Верно ли оно?

10. Два спортсмена, Иванов и Петров, преодолевают одну и ту же дистанцию. Петров первую половину всего времени пребывания на дистанции шел, а вторую половину времени бежал. Иванов первую половину дистанции шел, а вторую половину бежал, Один из них преодолел все расстояние за 16 мин, другой — за 18 мин, причем у них были одинаковы скорости ходьбы и бега. Сколько минут Иванов потратил на ходьбу и сколько на бег?

11. Для того чтобы выпуклый четырехугольник был параллелограммом, необходимо и достаточно, чтобы сумма расстояний между серединами противоположных сторон была равна его полупериметру. Доказать.

12. Доказать, что для произвольных чисел а, в, с справедливо неравенство

a* -f Ь* + c*»abc(a + b + с). Выяснить, когда достигается знак равенства.

13. Найти функцию f (х), определенную при х=£ 0 и удовлетворяющую при всех хфО условию:

f(x)-2f(I)=2*.

4*

51