Юный техник 1991-12, страница 80

ВСТУПИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ

1. В десятичной записи числа 1996 цифр: 1992 тройки и цифры 1, 9, 9, 2 выписаны в произвольном порядке. Докажите, что это число не может быть полным квадратом.

2. Докажите, что из всех треугольников с данным основанием и данной высотой, опущенной иа это основание, равнобедренный имеет наименьший периметр.

3. Найдите все такие натуральные числа К, что уравнение

х² — kx+k=0

нмеет целые корни.

4. Решите неравенство

1+х

1-х

<1

5. Составьте из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 два трехзначных числа так, чтобы их произведение было наибольшим (каждая цифра должна быть использована один раз).

6. Найдите все значения параметра а, при которых каждое решение неравенства является решением неравенства

х^г —ах+1<0

7. На координатной плоскости задан равнобедренный треугольник, коордниаты вершин которо

го — целые числа, а одна из сторон равна 2J 2. Докажите, что площадь этого треугольника выражается целым числом.

8. При каких значениях параметров а и b многочлен

х⁴+24х³+ах²+1992х+b

будет квадратом многочлена второй степени?

9. В прямоугольном треугольнике ABC проведена биссектриса AD (<С=90 градусам). Найдите tg А, если длины отрезков AD, АС и ВС образуют геометрическую прогрессию.

10. Бильярд имеет форму правильного треугольника со стороной а. Точечный шар, выпущенный из вершины, после трех отражений от бортов попал в другую вершину. Найдите длину пути шара.

11. Модели многогранников делают из плоских разверток. Найдите все развертки куба и изобразите их на рисунке. Можно ли какими-то одинаковыми развертками замостить всю плоскость без пропусков и перекрытий?

12. Окружность и парабола пересекаются в четырех точках. Докажите, что центр тяжести этих точек лежит на осн параболы.

С. КОНОВАЛОВ,

доцеит кафедры математики

P. S. От редакции: В этом году ЗФТШ празднует свой 25-летний юбилей. Поздравляем юбиляра и желаем ему многих-многих лет плодотворной деятельности.

ПРИЗ НОМЕРА

Ответы на аопросы «ЮТ» № 8/1991

1. Децибел — десятая часть бела — логарифмическая единица отношение двух величии, например, мощностей, токов...

2. Саерхпроводимость открыта Кемерлинг-Оннесом в 1911 году.

3. Близкое к нулю.

Лучше всех на вопросы ответили Николай Краснов из посепка Смолина Нижегородской обл., Александр Савинов нз Ульяновска и Анд- -рей Волохов из Южноуральска.

76