Юный техник 1997-11, страница 83
ВСТУПИТЕЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ ПО МАТЕМАТИКЕ 1. Турист проехал расстояние между двумя городами за 3 дня. В первый день он проехал 20% всего пути и еще 60 км, во второй 1/4 всего пути и еще 20 км, а в третий день 23/80 всего пути и оставшиеся 25 км. Найти расстояние между городами. 2. Коза и корова съедают воз сена за 45 дней, корова и овца — за 60 дней, овца и коза — за 90 дней. За сколько дней съедят воз сена коза, овца и корова вместе? 3. Доказать, что если сумма квадратов двух целых чисел делится на 7, то и каждое из них делится на 7. 4. На плоскости проведены три прямые, каждая из которых пересекается по крайней мере с одной из двух остальных. Найти геометрическое место точек, равноудаленных от этих прямых. 5. Несколько ящиков весят вместе 10 тонн, причем каждый из них весит не больше одной тонны. Какое наименьшее количество трехтонок заведомо достаточно, чтобы увезти за один раз весь этот груз? а 6. Найти сумму отмеченных углов пятиконечной звезды. /\_—-г 7. Решить уравнение ,_ ,__-с—/""x^ 8. Из молока, жирность которого составляет 5%, изготовляют творог жирностью 15,5%, при этом остается сыворотка жирностью 0,5%. Сколько творога получается из 1 тонны молока? 9. Найдите все значения а, при которых неравенство 6х2—2х+1 9х2—Зх+1 является верным при всех значениях X. 10. Из всех треугольников с данным основанием а и данным углом а при вершине найти треугольник с наибольшей биссектрисой, проведенной к основанию. 11. Решить неравенство . . .. |х+2| —|х—11 ^ V 8—х2—2х 12. В трапеции ABCD сторона АВ перпендикулярна основаниям AD и ВС. Окружность касается стороны АВ в точке К, лежащей между точками А и В, имеет с отрезком ВС единственную общую точку С, проходит через точку D и пересекает отрезок AD в точке Е ( Е * D). Найти расстояние от точки К до прямой CD, если AD = 48, ВС = 12. 13. Решить уравнение cos х cos 5х _ . . _ мГЗх~15Т" =8sinxs.n3x t 14. Дана арифметическая и геометрическая прогрессии. Сумма их первых членов равна 6, сумма третьих членов равна 2, а сумма пятых членов равна (—2). Найти разность арифметической прогрессии. Т.В.МИХАЙЛОВА, доцент кафедры высшей математики МФТИ 79 |
