Техника - молодёжи 1937-09, страница 59

Это пора его кипучей деятельности. Лобачевский совмещает и должность библиотекаря, приводит в порядок каталог библиотеки, поднимает хозяйство клиник, строит новые здания библиотеки и астрономической обсерватории, организует издание «Ученых записок Казанского университета», хлопочет об учреждении ученого общества. Всюду он вносит свою кипучую энергию. «Все, за что он ни брался, делалось им с глубоким убеждением в пользе дела, а потому он не делал различия между главным и второстепенным, не боялся труда и не жалел своего времени. Достаточно сказать, что все годичные отчеты за время его ректорства написаны его характерным, мелким, • бисерным почерком», говорит его биограф.

В то же время он печатает ряд мемуаров по теории чисел, теории вероятностей и механике и выпускает в свет свои основные сочинения: «.Начала геометрии», «Воображаемая геометрия» и др.

Он и преподает в университете и читает публичные лекции по физике, организует ремесленные курсы и сам читает там «народную физику» для широкой аудитории.

В щ ервое систематическое изло-I 1 жение геометрии, так назы-J. Ж ваемые «Начала» Евклида, содержит ряд более или менее очевидных аксиом и постулатов. Особое место среди них занимает V постулат, или постулат о параллельных линиях.

Нетрудно убедиться, что два перпендикуляра к одной прямой не пересекаются. В самом деле, если бы они имели общую точку по одну сторону от прямой, то по соображениям симметрии должны были бы иметь вторую общую точку по другую сторону ее. А две прямые, если они не совпадают, могут иметь только одну общую точку.

Таким образом, через всякую точку можно провести прямую, параллельную данной прямой, но будет ли такая прямая единственной? Если одну из двух параллельных прямых повернуть около

6 С,

- р _

Т

Если одну из двух параллельных прямых повернуть вокруг какой-либо ее точки, хотя бы на самый малый угол, то, по Евклиду, она обязательно пересечет другую прямую.

какой-либо ее точки на самый малый угол, должна ли эта новая прямая пересечь вторую прямую или можно взять такой малый угол поворота, что точки пересечения не будет?

Евклид полагал, что все прямые, кроме одной параллельной, пересекают данную прямую. Именно это сформулировал он в своем постулате: «Если две прямые, пересеченные какой-либо третьей, образуют с ней но одну и ту же сторону такие внутренние углы, что сумма их меньше двух прямых углов, то обе прямые, продолженные в одну и ту же сторону, пересекутся».

Более двух тысяч лет «Начала» Евклида изучались, переводились, комментировались, и все комментаторы прежде всего обращались к V постулату. Этот постулат не был столь очевидным, как все аксиомы. Никто не сомневался в его справедливости, но все пытались его доказать. Однако в действительности доказывали, что V постулат можно заменить другим предложением, ему равносильным.

Уже Прокл (410—485) показал, что V постулат следует из предположения, что параллельные всюду одинаково отстоят друг от друга. Валлис (1616—1703) свел его к гипотезе, что для каждой фигуры имеется подобная фигура произвольной величины.

Саккери (1667—1733) выводит постулат параллельных из ' существования прямоугольника, а Ле-.жандр (1752—1833)—из того только положения, что сумма углов в треугольнике равна двум прямым углам.

Весплодность всех этих попыток доказать знаменитый постулат должна была привести к мысли о возможности другой геометрии, где сумма углов треугольника всегда меньше 180°. При этом, чем больше площадь треугольника, тем больше разница между суммой его углов и суммой двух прямых. Это значит, что подобные треугольники невозможны, ибо с увеличением треугольника углы его уменьшаются. Это—новая геометрия, где существует треугольник наибольшей площади, все вершины которого ушли в бесконечность, а все углы равны нулю; где Через каждую Точку проходят две прямые, параллельные данной прямой. Эти две параллельные образуют угол. Все линии, лежащие вне этого угла, совсем не пересекают данную прямую.

Три математика почти одновременно пришли к этой мысли: знаменитый Гаусс, профессор в Гет-тингене (Германия), работы которого создали эпоху и в теории чи

сел, и в теории вероятностей, и в диференциальной геометрии; безвестный венгерец Иоганн Болиай, офицер австрийской армии, и, наконец, казанский профессор Лобачевский.

Гаусс боялся опубликовать полученные им результаты: «У большинства людей нет правильного отношения к вопросам, о которых идет речь», писал он.

И. Болиай в 1832 г. поторопился напечатать свой труд в приложении к книге своего отца; он подозревал Гаусса в том, что тот хочет присвоить себе его открытие, завидовал Лобачевскому и старался его превзойти, задумывая новый труд о преобразовании начал математики.

Он работал над созданием «абсолютной» геометрии, объединяющей все то, что не зависит от V постулата.

12 февраля 1826 г. в совете Казанского университета Н. И. Лобачевский излагает основы новой геометрии. В 1829—1830 гг. он печатает «Начала геометрии», где строит новую, неевклидову геометрию, которая теперь, по справедливости, называется геометрией Лобачевского.

Сначала Лобачевский тоже старался доказать знаменитый постулат, но скоро от этого отказался. «Строгого доказательства сей истины,— пишет Лобачевский, — до сих пор не могли сыскать; какие были даны, могут назваться только пояснениями, но не заслуживают быть почтены в полном смысле' математическими доказательствами».

Лобачевский не опровергал геометрии Евклида. Он только предположил, что мыслимо существование пространств, свойства которых отличаются от свойств евклидова пространства. Новую геомет рию, безупречную в своей логической стройности, он даже назвал «воображаемой геометрией».

Возьмем прямую АВ и вне ее точку С. Из этой точки опустим на прямую перпендикуляр CD. Из той же точки С опустим на прямую наклонную СЕ. Она пересечет прямую слева от перпендикуляра в точке Е.

Теперь станем увеличивать угол DCE. Новая наклонная пересечет прямую слева от перпендикуляра уже в точке Ei, затем Ег и т. д. С увеличением угла точка пересечения будет удаляться.

Продолжая увеличивать угол, мы убедимся, что, перейдя некоторую границу, наклонные уже не будут пересекать прямую АВ с левой стороны. Границей будет некая прямая CF.

Лобачевский устанавливает, что такая пограничная прямая CF пересекает АВ в ее бесконечно уда-