Техника - молодёжи 1937-09, страница 60

ленной точке Н, лежащей слева от перпендикуляра.

Очевидно, что направо от перпендикуляра расположена другая бесконечно удаленная точка Hi прямой АВ; что через точки С и Hi проходит другая пограничная прямая CF{; что эта прямая точно так же отделяет прямые, которые, проходя через точку С, пересекают линию АВ справа, от тех, которые не пересекают ее в этом направлении.

На Евклидовой плоскости прямые СН и С Hi сливаются в одну прямую. Прямая эта перпендикулярна CD и параллельна АВ.

В геометрии же Лобачевского прямые СН и CHi различны и наклонны к перпендикуляру CD. В то же время они называются параллельными к прямой АВ, первая (СН) — в направлении справа налево, вторая СН 1 — в направлении слева направо. Углы DCH и DCHi называются углами параллельности перпендикуляра CD; эти углы равны между собой.

Угол, образованный двумя параллельными прямыми, называется углом параллельности.

Итак, Лобачевский, отступив от постулата Евклида, предполагает, что из всех прямых, проходящих через заданную точку, часть пересекает заданную прямую, другая часть не пересекает ее. Границей между теми и другими служат две прямые, параллельные данной прямой. В геометрии Евклида угол параллельности равен 180°; в геометрии Лобачевского он меньше 180° и приближается к 180° по мере того, как его вершина приближается к заданной прямой.

В одну сторону параллельные прямые все более и более сближаются, пересекаясь в бесконечности; в другую они неограниченно расходятся.

Сумма углов треугольника в пространстве Лобачевского меньше 180°, и тем меньше, чем больше площадь треугольника. У треугольника наибольшей площади углы равны нулю. Все три вершины его ушли в бесконечность, и, следовательно, все три стороны такого треугольника параллельны друг Другу.

В геометрии Лобачевского нет подобных фигур. Подобие фигур невозможно, потому что с увеличением сторон сумма углов уменьшается. Чем меньше фигура, тем менее отличается ее геометрия от Евклидовой. Кроме того, и у Лобачевского площадь наибольшего треугольника может иметь ту или другую величину. Чем больше площадь наибольшего треугольника, тем ближе его геометрия к Евклидовой.

Но, может быть, V постулат Евклида все же можно доказать, доведя до абсурда «воображаемую геометрию». Может быть, при дальнейшем развитии системы Лобачевского можно притти к противоречию?

«Показав до сих пор, каким образом надо вычислять длину кривой линии, величину поверхности и величину объема тел, /мы в праве утверждать, —^ пишет Лобачевский, *— что пангеометрия составляет учение, геометрически полное. Одного взгляда на уравнения, которыми выражают зависимость углов и боков прямолинейных треугольников, достаточно, чтобы доказать, что, начиная с этих уравнений, пангеометрия делается вычислением аналитическим, которое заменяет и обобщает способ обыкновенной геометрии».

Таким образом, „при дальнейшем развитии системы Лобачевского противоречий встретиться не может, и она имеет, право на существование. Но великий геометр не ограничился только этой формальной точкой зрения. Уже в «Новых началах геометрии» он пишет:

«Напрасное старание со времен Евклида, в продолжение двух тысяч лет, заставило меня подозревать, что в самих понятиях еще не заключается той истины, которую хотели доказывать и которую проверить, подобно физическим законам, могут лишь опыты, каковы, например, астрономические наблюдения».

К астрономическим наблюдениям он действительно обращается. Различие между геометриями Евклида и Лобачевского прежде всего сказывается в сумме углов тре

угольника эта разница возрастает. Поэтому Лобачевский берет наибольший доступный треугольник,* образованный неподвижной звездой (Сириус) и двумя противоположными положениями земли на ее орбите. Предполагая для простоты, что два луча зрения, напра- ¹ вленные к Сириусу с земли в ее двух противоположных положениях, параллельны, он определяет в то же время угол наклона их по видимому смещению звезды при годичном движении земли (параллакс). Так приходит Лобачевский -к заключению, что сумма углов такого треугольника со сторонами, равными расстоянию земли от солнца, отступает от 180° не более чем на 0,0003 секунды. Это показывает, что для наблюдений на поверхности земли Евклидов постулат имеет силу.

о, чего так боялся Гаусс, произошло с Лобачевским. Власть имущие в конце концов испу- j гались этого странного человека, его непосредственного общения со студенчеством. Каждый университет в те времена считался пороховым погребом. Поэтому министерство просвещения, на-" конец, решило не утвердить Лобачевского ректором, несмотря на то, что совет снова переизбрал его, и назначило его помощником попечителя учебного округа. Ученый был оскорблен. Он тяжело переносил потерю любимой аудитории.

Он был избран членом-корреспондентом Геттингенской академии, членом которой был и Гаусс, но Петербургская академия наук обошла его, и только Московский, университет, где в то время товарищи и друзья Лобачевского 1 Брашман и Давыдов основывали' математическое общество, избрал его своим почетным членом.

Лобачевский стал слепнуть. Уже слепой, он продолжает работать, посещает все экзамены в университете, выпускает в свет «Пангеомет-рию» — наиболее полное изложение своей геометрической системы. Но силы его падают. Великий ученый умирает 12 февраля 1856 г., j в тот самый день, в который ров- j но тридцать лет назад он впервые ^:: огласил основные принципы своей ' геометрии.

Его имя сейчас у всех на устах. v, ЕгсГ идеи пробили первую брешь * в геометрии Евклида. Гораздо да-1 лее идущие воззрения Римана о ] геометрии кривого пространства в 1 наши дни получили неожиданно ] физический смысл и огромную I важность в теории относитель-j ности, но все это стало возмолсным только после работ Лобачевского, а

58