Техника - молодёжи 1964-06, страница 43

пестроклетчатая комбинаторика

12----

Рис. 1.

О,

8 «12 = 96

О

170 173 170 /МАКСИМУМ/

Рис. 2.

Ровно 450 лет назад немецкий художник Альбрехт Дюрер создал свою знаменитую аллегорию, известную под названием «Меланхолия». Среди множества символических аксессуаров, окружающих центральную фигуру, в глаза бросается квадрат, клетки кот<иэого заполнены числами от 1 до 16. Суммы цифр вдоль строк, диагоналей и столбцов одинаковы и равны 34. Подобные квадраты а старину назывались «магическими». Интересная деталь: 15 и 14, стоящие в нижней строке квадрата, составляют год создания гравюры — 1514-й. Вот, пожалуй, и все, что могли дать магические квадраты тогда, в эпоху Возрождения. Между тем в этих пестроклетчатых безделушках обнаружилась и в самом деле «чудодейственная», вполне материалистическая сила, о которой и не подозревал Дюрер. Оказалось, что свойства так называемых «магических» квадратов легно использовать в различных совершенно реалистических расчетах — в экономике.

«Магический» нвадрат в классическом понимании слова — это комбинация чисел, образующих натуральный ряд: 1, 2, 3, 4 и т. д. А в таблицах, предназначенных для хозяйственных нужд, должны зачастую фигурировать цифры, которые вовсе не дают натурального ряда. Как же быть?

Автору этих строк, который занимается «магическими» квадратами вот уже

больше полувека, удалось выявить строгую математическую закономерность, в соответствии с которой можно построить любой магический квадрат. Обратите внимание, как должен быть раскрашен квадрат такого типа (цв. вкл.). Клетки одинаковых цветов в нем не соседствуют друг с другом (касание уголнами не в счет). Такая расцветка не прихоть художника. Здесь отражена та самая закономерность в построении квадрата, о которой я уже упоминал. Дюреровский квадрат составлен по другому принципу. Оставаясь магическим, он тем не менее не пригоден в качестве деловой таблицы. И вот почему: если раскрасить клетки с первой четверкой чисел (1, 2, 3, 4) в один цвет, со второй четверкой (5, б, 7, 8) — в другой, с третьей четверкой — в третий и т. д., то в дюреровском квадрате клетки с одинаковыми цветами окажутся соседями. А это недопустимо. Чтобы придать квадрату необходимые свойства, его надо перестроить по определенному правилу. Прежде чем объяснять правило, я покажу, как можно использовать «магический» квадрат для составления, например, меню на 43 разнообразных обеда из 4 блюд каждый. Эту задачу легно решить практически в наших столовых.

Прежде всего подберем калорийность обеда — она должна быть, очевидно, во всех случаях одинаковой (скажем, 1 400 налории). Зато комбинации белков, жиров и углеводов (в граммах) разные. Если складывать клетки вдоль строи, столбцов и диагоналей, то мы получим лишь 10 сочетаний. А где Же остальные 33 из 43 обещанных? Их можно получить, например, расчленив квадрат на 4 равные части. Или просуммировав 4 угловые клетки. И так далее. Наш квадрат дает возможность составить многовариантную таблицу рационов суточного питания для диетических столовых. Но только ли это?

Вот иной квадрат — не четырехранго-вый, а трехранговый. В нем 3 строки и 3 столбца. Применим его для другого случая. Суммы по строкам, столбцам и диагоналям в нем равны 15. Это число может соответствовать 15 тыс. руб. — скажем, стоимости 3 видов продукции, выпускаемой мебельной. фабрикой. Условимся, что первого типа продунции (столы) требуется изготовить либо на 1, либо на 2, либо на 3 тыс. руб., второго (стулья) — либо на 4, либо на 5, либо на 6 тыс., третьего (шкафы) — либо на 7, либо на 8, либо на 9 тыс. Квадрат даст нам 8 вариантов плана (3 строки + 3 столбца + 2 диагонали). 8-й вариант (диагональ 4 — 5—6) непригоден: он учитывает только один тип продукции (стулья). Спрашивается, какое из оставшихся 7 сочетаний наиболее выгодно? Мы не можем пока решить этот вопрос, ибо не знаем, сколько рабочей силы нужно для осуществления каждого

из 7 сочетаний. Ведь на стул расходуется иное время, чем на стол или шкаф. Перемножим теперь все числа «магического» квадрата на свой показатель расхода рабочей силы (рис. 1 и 2).

Рис. 3.

Суммы по строкам, столбцам и диагоналям будут уже различными. Минимальная сумма — 169 человеко-дней, максимальная — 173 человеко-дня. Таким образом, мы можем уже отбирать наиболее* выгодные варианты в пределах одной и той же плановой суммы.

Если мы сумели составить план на 15 тыс. руб., то сумеем сделать это и на любую другую сумму. Если мы построили квадрат на 3 вида продукции, то построим и на 23 вида продукции! Если мы прикинули расход рабочей силы, то почему не можем прикинуть расход материалов, электроэнергии? Или составить план использования посевной площади под различные виды сельскохозяйственных культур? Ответы на эти и другие вопросы содержатся в разработках, сделанных автором.

Наука приходит в быт. Что ж, в наш век тотальной математизации знаний ничего нет удивительного в том, что развлекательные математические диковинки вроде математических квадратов становятся в руках вдумчивых исследователей немаловажным подспорьем в практических делах. Теперь вы сами сможете построить любой пятиранговый квадрат по указанному правилу (рис. 3). Вместо а и d можно подставить числа по собственному усмотрению. Аналогичные алгоритмы найдены для построения любого «магического» квадрата с любым количеством рангов. Попробуйте составить подобный алгоритм для: а) 7-рангового квадрата; б) 10-рангового.

И. КОЛБОВСКИЙ, инженер

■ 1 риготовьте сплавы, скажем, олова ■■ (Sn) со свинцом (РЬ) такого состава:

I) 100% РЬ + 0% Sn ; 2) 90% Pb+10% Sn; 3) 80% Pb+20% Sn и т. д. до

II) 0% РЬ + 100% Sn .

Измерьте точки плавления (затвердевания) каждой пробы и нанесите их на график, в котором на оси ординат отложены температуры, на оси абсцисс — состав. У вас получится кривая, напоминающая взмах крыльев мхатовеной чайки. Самая нижняя точна кривой называется эвтектической. Мы получили график «состав — свойство» для двойной системы (см. цв. вкл.). Он позволяет изучать различные свойства физико-химических систем (растворов, расплавов, смесей). Если система состоит из 3 компонентов, то ее состояние отображается уже не чертежом, а трехмерной моделью. Вместо плоской «чайки» теперь перед нами рельефная поверхность. Но каждая из граней призмы — это тот же график двойной системы. Основание призмы — треугольник, на который спроектирована эвтектическая точка тройной системы. Гораздо труднее построить модель четверной системы. Она представляет собой тетраэдр, составленный из тех самых треугольников, кото

рые являются основаниями призмы — модели тройной системы. Внутри тетраэдра заключена эвтектическая звезда, рассекающая его на 4 дольки. Аналогично изображается геометрическая модель системы из 5 компонентов. Эта фигура — пентатоп — имеет 4 угловые точки, расположенные в четырехмерном пространстве. Шестерная система изобразится пятимерным гексатопом. И вообще система из (n+ 1) компонентов может быть представлена политопом n-мерного пространства.

Академик Н. С. Курнаков называл разработанный им физико-химический анализ топологической химией — «универсальным математическим языком химии». И действительно: от жарких сполохов доменных плавок до холодных равновесий соленых морских пучин — таков диапазон применения курнаков-ских методов. Знаменитая «солнечная диаграмма», описывающая процессы испарения воды и выпадения солей в заливе Кара-Богаз-Гол, легла в основу исследования этой богатейшей кладовой химического сырья. Современный прогресс металлургии просто немыслим без физико-химического анализа металлов и сплавов.

37

4.ПЯТИКОП9ПОНЕНТНОЙ СИСТЕМЫ