/цатемтика

1910 году математик Освальд Веблен и физик Джемс Джине обсуждали реформу курса математики в Прин-стонском университете. «Мы можем вычеркнуть теорию групп,—сказал Джине.—Эта тема никогда не найдет себе применения в физике». Мы не знаем, оспаривал Веблен мнение Джинса или защищал теорию групп с чисто' математических позиций. Мы знаем только, что теорию групп продолжали преподавать. За последнее время она превратилась в одну из центральных тем физики и сейчас доминирует в мыслях у всех, кто старается разобраться в природе основных элементарных частиц.

У этой маленькой истории есть несколько моралей. Во-первых, та, что ученый не должен произносить окончательно приговоры относительно предметов, лежащих вне его узкой специальности. Вторая и более серьезная состоит в том, что будущее науки непредсказуемо. Место математики в физических науках не таково, чтобы его можно было определить раз и навсегда. Взаимосвязи между математикой и наукой так же глубоки и разнообразны, как и сама наука.

Поскольку один конкретный пример лучше, чем целая гора прозы, я опишу роль, которую сыграла в физике теория групп, приведшая к теории элементарных частиц— так называемому «восьмеричному пути». Эта теория, развитая независимо друг

Рис. /. Три богатыря математической физики: теория поля, теория S-матриц, теория групп.

G^S-V s* \ \\!А

от друга Гелл-Манном и Нейманом, получила блестящее подтверждение в открытии омега-минус-частицы. Физика частиц высоких энергий находится сейчас в необычайно выгодном положении. За последние пять лет большие ускорители открыли нам новый мир частиц с таким богатством деталей и такой сложностью структуры, каких едва ли ожидая кто-нибудь.

В подобной ситуации физики-теоретйкп выбирают себе цели и методы в соответствии с критериями математического вкуса. Главный вопрос для теоретика — вопрос не о том, «будет ли работать моя теория?», а скорее «является ли теорией то, что я делаю?». Подручный материал для теоретической работы состоит из обрывков математики, из эмпирических правил расчета, из нескольких общих принципов, сохранившихся от ранних эпох. Какое сочетание этих компонентов назвать теорией, решает математический вкус.

Вот три основных рабочих метода в современной теории: теория поля, теория S-матриц и теория групп. Они не исключают друг друга: по крайней мере между результатами приверженцев различных теорий нет противоречия, хотя в том, что говорят они, противоречия есть. Вероятно, все три точки зрения в конечном счете равно приносят пользу.

Теорию групп стоит рассмотреть подробнее, чем первые две Математический материал в ней — это глубокая и мощная теория, созданная в основном в первой четверти XX века. Главные понятия здесь — «группа» и «представление».

Ф. ДАЙСОН, профессор математической школы Принстон-сного института (США), крупнейший специалист по квантовой теории поля и статистической механике, автор знаменитого проекта «сферы Дайсона» («Техника — молодежи» № 7, 1964).

ВЫСКАЗЫВАЕТСЯ ФРИМЕН ДАЙСОН

Рис. Ю. Макаренко

Группа — это совокупность операций, при которой любые две, выполняемые последовательно, вместе эквивалентны третьей, принадлежащей к тому же комплексу. Например, трехмерная группа вращений Оз определяется как совокупность всех вращений в обычном трехмерном пространстве вокруг неподвижного центра. Очевидно, что если Ri и /?2 — два таких вращения, то их последовательное применение эквивалентно третьему вращению Рз. А представление группы — это совокупность чисел и правил преобразования таких чисел, где каждой операции на группе соответствует вполне определенное преобразование чисел представления. Преобразования в представлении должны быть только линейными: то есть, если при каком-либо превращении Р переходит в Р\ a q-в q\ то «р + q» должно перейти в «р¹ + tf¹». Примером представления 0₃ служит система координат X, У, Z_t определяющая для любой точки Р ее положение в пространстве. Если приложить вращение R, то точка Р перемещается в новое положение Р¹ с координатами X¹, УК Z^x> а это и есть правило для X, У, Z. Рассмотренное представление Оз называется триплетным представлением, так как в нем применены три числа.

Возьмем конкретный пример. Существует три типа элементарных частиц, называемых пионами: одна заряжена положительно, другая — отрицательно, третья нейтральна. Все они обладают примерно одинаковой массой и примерно одинаковыми ядерными взаимодействиями Вообразим, что пионы являются триплетным представлением группы Оз с той же абстрактной структурой, что и группа Оз, но не имеющей ничего общего с обычным вращением в пространстве. Тогда мы можем предсказать многие из свойств пионов, исходя только из абстрактной теории групп, ничего не зная о внутренней природе операций, составляющих группу 0^!з. Все эти предсказания свойств пионов оказались правильными. Больше того, они были сделаны Николасом Кеммером в 1938 году, за 9 лef до открытия первого из пионов Группа 0^!з (с некоторыми изменениями) известна в физике под названием «группы изотопического спина».

Перейдем, наконец, к восьмеричному пути, оказавшемуся ключом к классификации частиц, открытых в последнее время. Эта классификация основана на группе 11$, более широкой, но менее известной, чем Од. Чтобы Ц_г была понятна для нематематиков, я применю механическую модель, которая относится к абстрактной группе t/₈ так же, как вращения в трехмерном пространстве к группе Оз. Этой модели не существует в реальном мире. Она придумана только для того, чтобы проиллюстрировать структуру группы.

Рассмотрим солнечную систему, в которой сила тяготения изменяется прямо пропорционально первой степени расстояний, а не по закону обратной пропорциональности квадрату их. Предположим, что планеты очень малы и что взаимными

...-iAS..,..

3

х в *

IS

<N

I

а "

Qu а

возмущениями у них можно пренебречь. Тогда каждая планета будет двигаться независимо по эллиптической орбите, в центре которой находится солнце.

Периоды вращения у всех планет равны, так как внешние планеты двигаются быстрее внутренних Назовем период

ю