Техника - молодёжи 1982-03, страница 8

л

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ФИЗИКА

Математическая физика — это теория математических моделей физических явлений. Она занимает промежуточное положение между физикой и математикой, однако относится к математике, поскольку методы исследования математических моделей являются математическими. Математическая физика развивалась параллельно с развитием физики и математики начиная со времен Ньютона, когда был создан анализ бесконечно малых и были заложены основы классической механики и теории всемирного тяготения.

Методы математической физики начали формироваться в XVIII веке при изучении колебаний струн и стержней, а также простейших явлений гидродинамики; в результате были заложены основы аналитической механики. В XIX веке идеи математической физики получили новое развитие в связи с задачами теплопроводности, диффузии, упругости, оптики, электродинамики, нелинейными волновыми процессами и т. д. Создаются теория потенциала и теория устойчивости движения. В XX веке в математическую физику включаются математические модели квантовой физики и теории относительности, а также новые задачи газовой динамики, переноса частиц и физики плазмы.

Изучение математических моделей квантовой физики потребовало привлечения новых областей математики, таких, как теория обобщенных функций, теория функций многих комплексных переменных, топологических, геометрических и алгебраических методов. Это дало возможность создавать и изучать новые математические модели, не сводящиеся к краевым задачам для дифференциальных уравнений.

Таким образом, математическая физика сегодняшнего дня благодаря своим глубоким связям почти

со всеми разделами математики постепенно занимает как бы центральную, цементирующую роль в целом комплексе дисциплин.

В связи с бурным развитием ЭВМ существенно расширился класс математических моделей, допускающих детальный анализ описываемых ими явлений методами вычислительной математики, в первую очередь конечноразностными методами и методами статистического моделирования. Появилась реальная возможность не только анализировать и уточнять математические модели сложных физических процессов, но и ставить вычислительные эксперименты, открывать новые физические явления или объекты.

В таком интенсивном взаимодействии теоретической физики и современной математики создаются и исследуются качественно новые классы моделей современной математической физики. Здесь важную роль приобретают «теоремы существования» — доказательство того, что рассматриваемые математические объекты в рамках принятой модели действительно существуют. Доказательство существования решения — это первая апробация математической модели. Ведь математическая модель не адекватно (а лишь приближенно!) отражает конкретное физическое явление, для описания которого она применена, и поэтому из существования

решения реальной задачей не следует существование решения соответствующей математической задачи. Конечно, окончательная апробация математической модели остается за опытом, экспериментом. Поэтому, чтобы судить о качестве математической модели, о ее соответствии опыту и о ее способности предсказывать неизвестные объекты или явления, нужны строго математические методы на всех этапах ее исследования. В противном случае, если результаты исследования математической модели расходятся с опытом, будет неясно, плоха ли модель, или имеет место 4 эффект некорректных рассуждений».

Для анализа новой математической модели используются либо созданные ранее математические теории, либо, если подходящих теорий нет, ставится задача о создании новой математической теории, способной анализировать эту модель.

ВАСИЛИИ ВЛАДИМИРОВ,

Под математической теорией мы понимаем абстрактное описание математического объекта с помощью совокупности понятий, аксиом, обозначений, теорем и формул. Примерами математических теорий являются теория множеств, теория групп Ли, теория обобщенных функций, теория игр, теория выпуклых тел и т. д.

Так, для анализа аксиоматической квантовой теории поля (математической модели, дающей релятивистское описание квантовых процессов при взаимодействии элементарных частиц) потребовалось привлечение таких разделов математики, как теория операторов, теория обобщенных функций, теория функций многих комплексных переменных, теория представлений групп и алгебр и т. д., причем теория функций многих комплексных переменных, ранее не имевшая существенных приложений в математической физике, получила новое развитие при анализе новой математической модели. Именно в это время, в 1956 году, Н. Н. Боголюбов открыл и обосновал новый принцип аналитического продолжения голоморфных функций многих комплексных переменных, известный епод названием теоремы об «острие клина» Боголюбова и составивший в настоящее время но-в^ю главу в теории функций.

Другие примеры. Хорошо известно, как новые задачи газовой динамики, возникающие в связи с потребностями самолетостроения, стимулировали развитие теории аналитических функций одной комплексной переменной, например, возникла теория квазиконформных отображений. Развитие спектральной теории операторов стимулировалось как механическими задачами о колебаниях, так и задачами квантовой механики. Таким образом, математическая физика сти-мулировала создание новых математических теорий.

С другой стороны, как уже упоминалось выше, для анализа математических моделей могут использоваться теории, созданные ранее как продукты «чистой» математики, не имевшие существенных приложений. Так случилось с теорией групп, «воображаемой» геометрией

Лобачевского, теорией гиперфункций, банаховыми алгебрами, симп-лектической геометрией, пространствами со связностью и многими другими.

на ПЕРЕДНЕМ КРАЕ НДУНИ