Техника - молодёжи 1997-01, страница 19

ми — по 11,11% на каждый. Выходит, линейные операции не меняют статистики начальных цифр у случайного набора.

Что ж, проверим простейшую нелинейную операцию — возведение в квадрат. Как распределятся на оси первые цифры не самих чисел, а их квадратов? Это легко увидеть на том же эталонном интервале: теперь группы единиц, двоек и так далее разделяются не целыми числами 1, 2, 3... 9, 10, но квадратными корнями из них — 1; 1,41; 1,73... 3; 3,16 (корни берутся потому, что нам нужно вернуться к ИСХОДНЫМ числам на оси, для чего требуется ОБРАТНАЯ операция). А значит, длины подинтервалов уже не одинаковы, но уменьшаются с ростом номера группы. Для группы единиц это 1,41 — 1 = 0,41, для двоек 1,73 — 1,41 = 0,32, а для девяток всего 3,16 — 3 = 0,16. Разделив эти длины на новую длину эталонного интервала (3,16 — 1 = 2,16), получим соответствующие проценты и вероятности.

Похоже, мы на верном пути! Пускай сами значения вероятностей еще далеки от бенфордовских — но уже ясно, что нелинейная операция меняет статистику в нужном направлении. Тогда попробуем «усилить нелинейность» — хотя бы возводя числа в четвертую степень. И проделав несложные вычисления, сведем в табличку процентные доли первых цифр для чисел, полученных разными способами:

ОТВЕТ РОЖДАЕТ НОВУЮ ЗАГАДКУ

Налицо явная закономерность, приводящая к важному выводу. Для получения бенфордовской статистики искомая операция должна быть «еще более нелиней

ной», чем четвертого порядка. Но все-таки — какой именно?

Статья о Великом Законе, недавно опубликованная во французском журнале «Сьянс э ви», по сути, обходит этот ключевой вопрос, давая упрощенный и нечеткий ответ: мол, нужную статистику порождает любая геометрическая прогрессия. Действительно — каждый ее член получается умножением предыдущего на некоторое число q («знаменатель прогрессии»). Значит, с ростом числа членов само q возводится во все большую степень, и нелинейность неограниченно растет. Убедиться в этом предлагается тоже по-простому: навы-числять сотню членов какой-нибудь прогрессии и так же, «вручную», проверить статистику первых цифр.

Что ж — получается, в общем-то, все верно, но... фундаментальная математическая операция так и остается неизвестной. Ясно, что найти ее можно только теоретически.

Попробуем же вдуматься в смысл наших предыдущих вычислений и вывести ОБЩУЮ формулу вероятности начальной цифры. Как мы находили эту величину для заданной группы? На эталонном интервале отмечали границы нужного подинтервала, путем вычитания определяли его длину и делили результат на общую длину интервала.

Очевидно, что такой ход вычислений будет одинаковым всегда — не только для возведения чисел в любую степень, но и для всякой другой математической операции над ними. Значит, если данное число есть результат произвольной операции R, вероятность того, что оно начинается с цифры п, равна [R~(n +1) - R~(n)] / [R~(10) - R~( 1)], (2)

где n = 1, 2... 9, a R--операция,

ОБРАТНАЯ R.

Ценность выведенной формулы — именно в ее универсальности. Ведь вместо символа R~ можно подставить что угодно: хоть знак извлечения корня, хоть синус, хоть... а почему не десятичный логарифм?! [Ig(n + 1) —Ig(n)]/(lg10 —Ig1). И поскольку Ig10 = 1, a Ig1 = 0, то в итоге получается не что иное, как выражение (1) — эмпирическая формула Бенфорда! Вот теперь-то — самое главное! ! — мы можем сразу назвать ту математическую операцию, которую так долго искали. Это функция, ОБРАТНАЯ логарифмической, то есть показательная. Между прочим, одним из видов последней является и вышеупомянутая геометрическая прогрессия.

Итак, доказано: все эмпирические числа, то есть параметры реальных объектов любой природы, формируются не случайно, не хаотически, но всегда — как показательные функции. Их аргумен

ты — те «иксы», что стоят в показателе степени — могут быть произвольными, но сами они — «игреки» — обретают новое свойство. То самое, что диктуется Законом Бенфорда.

Полностью осмыслить и строго обосновать сей феномен в кратком заключении нашей статьи, конечно, не удастся. Да, похоже, и вообще кругозор современной науки для этого еще недостаточен. Так что пока можно высказать лишь некоторые осторожные качественные соображения.

Для наглядности возьмем формулу той же геометрической прогрессии, или, если угодно, еще одну разновидность показательной функции — формулу сложных процентов (с которой по известным причинам в последние годы близко знакомится все больше наших граждан). Суть их в том, что какая-то начальная величина раз за разом умножается на некоторую другую величину — в принципе до бесконечности. А теперь подумаем: как, в самом общем случае, формируются параметры реальных объектов? В результате взаимодействия, наложения друг на друга множества случайных факторов. Если это взаимодействие линейно, то есть сводится к суммированию или умножению на постоянную величину, то и результат остается случайным, не подчиняется Закону Бенфорда. И такие явления в принципе вполне возможны — хотя бы бросание игральной кости.

Но чаще всего случайные факторы не просто накладываются, а последовательно порождают друг друга, связываются в цепи причин и следствий (практически бесконечные!). И если взять, например, физические эффекты, то бросается в глаза, что большинство их описываются формулами, содержащими произведения переменных величин, их квадраты, а то и более высокие степени (объем тела, кинетическая энергия, центробежная сила, формула Эйнштейна и т.д.). Как видим, сомножителей и степеней всегда хватает.

Возможно, видимо, и более общее объяснение. Свойство инвариантности к изменению масштаба наводит на мысль о фрактальных структурах, которые, как выяснилось, лежат в основе огромного множества объектов и процессов в природе, обществе и технике — облаков и рек, горных хребтов и живых организмов, электрических разрядов и колебаний курса акций на бирже. Механизм формирования подобных структур чрезвычайно прост и универсален: многократное, в принципе опять-таки неограниченное, воспроизведение неких «шаблонных» форм во все более мелком масштабе с их постоянным наложением друг на друга. Именно поэтому объекты и обретают свойство инвариантности, или, как еще выражаются, самоподобие: рассматривая их при любом увеличении, мы видим совершенно однотипные структуры. Так что и здесь в сомножителях недостатка нет,., Но все это уж тем более тема отдельной статьи. ■

ТЕХНИКА-МОЛОДЕЖИ Г 9 7

ЕЯ