Техника - молодёжи 1997-01, страница 18
1 23456789 3255 1331 660 262 324 149 167 118 88 В целом уже и это довольно близко по характеру к бенфордовскому распределению. Но сходство еще больше усилится (в том числе сгладятся «выбросы» у 5 и 7), если разом учесть частоты всех количественных и порядковых числительных для единиц, десятков и сотен. Просуммировав эти частоты, найдем их процентные соотношения: 1 2 3456789 49,3 21,3 11,5.5,1 4,4 3,0 2,1 1,8 1,5 Конечно, надо помнить, что в реальном тексте отдельное числительное вовсе не обязано означать ПЕРВУЮ цифру числа (ср. «девяносто три», «тысяча двести», «сорок тысяч»). Не будем уж говорить о куче «портящих статистику» слов типа «единожды», «вдвоем», «тройной», «четверо», «в-пятых», «шестерка», «семиметровый», «восьмиклассник», «девяти-угольник». Но тем замечательнее, что при этом неравномерность не слабеет, а наоборот, растет! ПОРА ОБСУДИТЬ РЕЗУЛЬТАТЫ Так или иначе, возблагодарим судьбу за вдумчивость английского физика и перейдем к следующему этапу исследования. Будем выдвигать гипотезы, варианты объяснения феномена. Не возбраняется, конечно, и критика самой постановки или интерпретации опытов. Тем более, что уж в данном случае это, пожалуй, прежде всего прихо--дит в голову — наверное, и нашим читателям тоже. Итак, объяснение первое: перед нами псевдопроблема. Элементарная, хотя и курьезная ошибка, а то и розыгрыш: ведь физики, как известно, шутят давно и охотно. Чисто внешний, «нумерологический» эффект, вызванный то ли определенными соотношениями системных единиц измерения, то ли использованием десятичной системы счисления, а может, позиционной системы вообще, с любым основанием, то ли еще чем-то подобным. Действительно: казалось бы, стоит только перевести ватты в лошадиные силы, килограммы в фунты (или, что то же, — взять приборы с другими шкалами), чтобы совершенно изменить соотношение начальных цифр любых величин. Что ж, попробуйте, благо проверка тут элементарна. Измеряйте площади прудов и луж в гектарах, квадратных милях или акрах, длительности геологических эпох в секундах, днях или годах китайского лунного календаря — в 30% случаев вы получите числа с единицей в начале и так далее до девятки. Не очень трудно убедиться, что и вообще умножение любого набора чисел на любое постоянное число (к чему и сводится смена шкалы) не меняет статистику начальных цифр. Выражаясь высоким научным штилем, она инвариантна к изменению масштаба. Чуть позже мы это строго докажем. Труднее наглядно показать инвариантность Закона при смене системы счисления. «Невооруженным глазом» виден только вырожденный случай — двоичная система, где все 100% чисел начинаются с 1. Некоторым подтверждением может служить и пример с шиллингами и пенсами. Но и в других случаях суть Закона остается той же — конечно, с перераспределением вероятностей между иным количеством однозначных чисел. Причем — еще один замечательный факт — математическое выражение Закона, выведенное Бенфордом, тоже везде полностью сохраняется, только основанием логарифма становится не 10, а соответствующее число. И ВСЕ-ТАКИ - НЕ МОЖЕТ БЫТЬ?! Не правда ли — вся наша логика, простой здравый смысл восстают против подобного «закона»?.. Да вот же, кажется, способ очень легко его опровергнуть! Достаточно понять, как числа с одинаковыми первыми цифрами размещены на числовой оси. Для начала выберем на ней, так сказать, эталонный интервал — от 1 до 9,999... Ясно, что здесь в группу единицы входят только числа, лежащие на «подинтервале» от 1 до 1,999..., в группу двойки — от 2 до 2,999... и так далее до девятки —от9 до 9,999... Короче, группы единиц, двоек и так далее отделены друг от друга и от соседних интервалов целыми числами 1, 2, 3... 9, 10. Выходит, все девять подинтервалов, а значит, и доли чисел каждой группы, равны между собой и составляют 1/9=11,11%. Та же картина и на соседнем справа, в десять раз большем интервале от 10 до 99,999...: доли всех девяти групп и здесь будут равными. Сдвинувшись влево, на интервал, в десять раз меньший,— от 0,01 до 0,0999 — увидим опять-таки равные подинтервалы, и так на всей оси, включая отрицательную часть. Вывод однозначен: множество действительных чисел Закону Бенфорда не подчиняется. Но тогда и любая случайная их выборка достаточного объема должна дать равномерное распределение первых цифр. Собственно, от случайных чисел и нельзя ждать ничего другого. Иначе они уже не будут случайны- ТУТ-ТО И ЗАРЫТА СОБАКА Правильно, не будут. Вот именно тут мы и нащупали первый подход к решению. Для чисел истинно случайных Великий Закон действительно дает полный сбой. Но выведен-то он для других чисел: тех, что служат ученым и инженерам исходным материалом вычислений. А их не получают подбрасыванием монетки. Это — эмпирические данные, результаты измерений неких конкретных величин, связанных с реальными объектами нашего мира. Остается единственный, хотя и парадоксальный вывод: подобные величины в своей массе отнюдь не случайны! В них (причем во всех, независимо от способа получения) заложено какое-то особое, единое глубинное свойство, которое заставляет их чаще начинаться с младших цифр! Откуда же возникает это изумительное свойство? Пока ясно лишь то, что его нельзя вывести, скажем, из законов физики, биологии или другой естест- весьма глубокая закономерность. Выпишите из любых (подчеркиваем — любых) справочников сотню любых (опять-таки по вашему вкусу) числовых значений — удельные теплоемкости веществ, площади озер, численность населения городов (какие вам больше нравятся) и подсчитайте процентное соотношение их первых значащих цифр от 1 до 9. А теперь попробуйте объяснить результат... венной либо технической дисциплины: столь универсальные, всеобщие свойства могут быть только математическими. К их числу относятся, в частности, симметрия, фрактальное строение, структурное подобие самых различных объектов и т.п. ГЛАВНОЕ - ХОРОШИЙ ВОПРОС Но какими особыми «математическими свойствами» могут обладать сами числа? Иначе говоря — чем они могут различаться, есть ли среди них свои виды и подвиды? Есть, конечно: известны числа натуральные, рациональные (отрицательные и дробные), иррациональные, трансцендентные. Тогда подумаем — как возникают у них эти «особые качества»? Как, например, получить из натуральных чисел прочие их разновидности? Опять-таки известно: путем вычитания и деления, извлечения корня и суммирования сходящегося ряда соответственно. А как называются все эти действия? Математические операции. Поистине, хороший вопрос — если и не половина ответа, то, по крайней мере, шаг к новому хорошему вопросу. Итак, какой операции надо подвергнуть набор случайных чисел, чтобы результаты подчинялись Великому Закону? Вопрос важнейший: ведь получается, что искомая математическая операция — которую как бы сама природа проделывает над параметрами всех своих объектов — является чуть ли не основой мироздания... Начнем поиск с самых элементарных операций — линейных. То есть, попросту говоря, арифметических действий. Снова выделим на числовой оси эталонный интервал от 1 до 9,999... И посмотрим, что случится с его девятью равными подинтервалами для групп единицы, двойки и так далее при сложении с постоянным числом, вычитании оного или умножении-делении на него же. Очевидно, что подинтервалы будут совместно сдвигаться либо равномерно растягиваться-сжиматься, но останутся равны Т Е X Н ИКА-МОЛОДЕЖИ 1 97 ЕЯ |
