Техника - молодёжи 1997-01, страница 17

ЗДАНИЯ

ЗАГАДКИ МИРО

ЦСТ РАВЕНСТВА ПО В МИРЕ ЧИСЕЛ

Этот поразительный факт был открыт не так давно, в 1938 г. Между прочим, очень вовремя, ибо пройди еще пара десятилетий — и неизвестно еще, удалось ли бы вообще когда-нибудь обнаружить фундаментальную числовую закономерность, надежно скрытую именно тем, что лежит она, так сказать, на самой поверхности математики...

ПОЛЬЗУЙТЕСЬ ТАБЛИЦАМИ ЛОГАРИФМОВ!

В один прекрасный день вышеуказанного года английский физик Фрэнк Бенфорд закрыл свою любимую книгу, рассеянно взглянул на ее обрез — и задумался. Книгой этой был довольно толстый том логарифмических таблиц. Многие читатели постарше хорошо помнят: до наступления «электронно-вычислительной эры» без этих таблиц (а уж на самый худой конец — без логарифмической линейки) не мог обойтись ни один специалист, занятый достаточно точными расчетами.

Своим экземпляром таблиц Бенфорд пользовался чуть не ежедневно в течение многих лет. Не удивительно, что края страниц потемнели и истрепались. Ученого удивило другое: степень их износа распределялась по толщине тома с четкой закономерностью. Самыми захватанными оказались первые страницы, а к концу они постепенно становились все чище. Если бы вашей настольной книгой был, допустим, роман с эффектно закрученным началом, но неуклонно скучнеющий к финалу,— все было бы ясно. Однако десятки страниц, сплошь покрытых цифрами,— отнюдь не развлекательное чтение. Тут излюбленных мест ни у кого не бывает. Нет нужды описывать методику вычислений по логарифмическим таблицам — достаточно сказать, что в них отыскивают числа, которые начинаются с 1,000... на первой странице вплоть до 9,999... на последней; при этом, производя какие-то действия, например, с величинами 12993 и 0,0075, ищут, соответственно, 1,2993 и 7,5.

И если износ таких страниц убывает от начала к концу, это может означать только одно; при расчетах гораздо чаще встречаются числа, начинающиеся со значащих цифр 1 или 2, чем с 8 или 9. Да к тому же еще, как вскоре убедились, — совершенно независимо от того, что именно рассчитывается: железнодорожный мост или орбита кометы, химический реактор или динамика популяции жуков.

...Простите, но как это вообще возможно? Почему, по какому такому закону число 29 в природе и технике встречается чаще, чем 30; 0,5999 — чаще, чем 0,6; зато 999 — наоборот, намного реже, чем 1000; а вот одна сотая и миллиард — с одинаковой частотой?!

НА ТО И СУЩЕСТВУЮТ УЧЕНЫЕ

Однако столкнувшись даже с такой чудовищной, вопиющей странностью, истинный ученый, если и теряется, то ненадолго. А потом начинает хладнокровно набирать экспериментальный материал. И Бенфорд приступил к «прямым экспериментам». Из разных справочников он выписывал тысячи числовых значений — от молекулярных весов химических элементов и масс небесных тел до длин рек и площадей озер всех материков и стран... Да, против фактов не попрешь: группа чисел с единицей впереди везде была наибольшей, далее шли возглавляемые двойкой, затем — тройкой, и так, неуклонно убывая, — до самой малочисленной группы тех, что имеют несчастье начинаться с девятки; их было раз в 6-7 меньше, чем в «группе единицы».

Спокойно, спокойно... Следующий этап исследования — статистический анализ. Оказалось, что лидирующая группа включает 30,1% всех чисел, с цифры 2 начинаются 17,6%, с 3 — 12,5%, 4 — 9,7%, 5 — 7,9%, а вероятность попасть в аутсайдеры, то есть в группу девятки — 4,6% (см. график на с. 16).

Проанализировав найденные процентные значения, Бенфорд вывел эмпирическую зависимость: вероятность того, что первая значащая цифра произвольной справочной величины есть п, определяется выражением

lg(n+1)-lg(n), (1)

где lg — десятичный логарифм, а п = 1, 2... 9.

Хоть ясности пока не прибавилось, потрясающий своей всеобщностью экспериментальный факт был налицо. Что ж, в таких случаях ученый тем более знает, что делать: пора переходить к третьему этапу — публикации результатов. Пусть теперь подключаются коллеги: попытаются эти результаты воспроизвести, а возможно и объяснить. И год за годом самые разные исследователи, изощряя фантазию, проверяли закон Бенфорда на самом разном материале. Периоды полураспада радиоактивных изотопов, напряжения электролитических пар из различных материалов, другие наборы физических констант, диаметры деревьев, численность населения стран и городов мира, уровни годового расхода электроэнергии в этих городах, длины улиц в них же, номера домов на этих улицах — все, все подчинялось той же логарифмической зависимости.

Закон явно выходил за рамки не только физики или химии, но и вообще любой отдельной совокупности наук...

А ведь страшно подумать! После издания первых таблиц логарифмов прошло свыше 300 лет, пока Бенфорд не проявил столь счастливой наблюдательности. И конечно, вполне могли так же пройти

еще лет тридцать. После чего, как известно, победное шествие электронных калькуляторов и ЭВМ сделало оные таблицы библиографической редкостью. В итоге этот поистине Великий Закон Мироздания, пожалуй, по сию пору остался бы не открытым. И вправду, кого посетила бы безумная идея группировать какие бы то ни было числовые данные по первым значащим цифрам, не взирая на остальные, равно как и на порядок величин?

НИЧТО НЕ НОВО В ЭТОМ МИРЕ

Хотя постойте; почему, собственно, «безумная»? На самом деле можно найти немало случаев, когда числа рассматривают именно так. И тогда выяснится еще один поразительный факт: по существу люди уже давно... открыли Закон Бенфорда! Точнее, давно бессознательно учитывают его в самых разных областях практики — пусть и в усеченном, упрощенном виде.

Вот, скажем, номиналы монет и банкнот разных стран. Во-первых, все они начинаются только с цифр 1,2,3 или 5 — тут нигде не встретишь ни семерок, ни девяток; причем это справедливо и для «недесятичных» денежных систем: в английском фунте — 20 шиллингов, а не 60, в шиллинге — 12 пенсов, а не 40. Во-вторых, количество выпускаемых дензнаков каждой группы в целом обычно убывает с ростом цифры (ну, может быть, не совсем равномерно). А ведь при этом покупательные способности разных валют различаются иногда на несколько порядков!

Еще четче проступает та же тенденция в стандартизованных параметрах ряда технических изделий, например, в номиналах резисторов, конденсаторов и тому подобных компонентов электронных схем. Пять таких номиналов начинаются сединицы (1,0; 1,1; 1,2; 1,3; 1,5), четыре — с двойки, три — с тройки, группы четырех, пяти и шести включают по два номинала, а три последних группы — по одному. И это опять-таки совершенно независимо от единицы измерения — будь то килоомы или микрофарады.

...Интересно: родился бы когда-нибудь гений, способный задуматься над номиналами конденсаторов и открыть тот же Закон?

Но, пожалуй, самым интересным и к тому же древнейшим свидетелем «бессознательного знакомства» людей с Законом Бенфорда является,., человеческий язык. Мы рассмотрим, конечно, русский, но, несомненно, сгодился бы и любой другой.

Известен особый тип словарей — частотные. Для их создания подбирают ряд текстов достаточного объема, опознают в этой выборке все одинаковые слова (независимо от грамматических форм) и подсчитывают их количество. Полученная цифра для каждого слова и называется его частотой. Используемый далее «Частотный словарь русского языка» (М, 1977) составлен на основе 1 056 382 словоупотреблений, среди которых найдено 39 268 разных слов.

Так вот, выписав из указанного словаря частоты числительных «один», «два»...

«девять», получим:

ТЕХНИКА-МОЛОДЕЖИ Г 9 7

ЕП